Procés de Cauchy

Un procés cauchy (procés de gravamen) i un procés d'OU impulsat per aquest. i la mediana de la distribució invariant.

En teoria de la probabilitat, un procés de Cauchy és un tipus de procés estocàstic. Hi ha formes simètriques i asimètriques del procés de Cauchy. El terme no especificat "procés de Cauchy" s'utilitza sovint per referir-se al procés de Cauchy simètric.

El procés de Cauchy té diverses propietats:

1. És un procés Lévy
2. És un procés estable
3. És un procés de salt pur
4. Els seus moments són infinits.

El procés simètric de Cauchy es pot descriure mitjançant un moviment brownià o un procés de Wiener subjecte a un subordinador de Lévy. El subordinador de Lévy és un procés associat a una distribució de Lévy amb un paràmetre de localització de $0$ i un paràmetre d'escala de $t^2/2$. La distribució de Lévy és un cas especial de la distribució gamma inversa. Per tant, utilitzant $C$ per representar el procés de Cauchy i $L$ per representar el subordinador de Lévy, el procés simètric de Cauchy es pot descriure com:

$C(t;0,1):=W(L(t;0,t^2/2)).$

La distribució de Lévy és la probabilitat del primer temps d'impacte per a un moviment brownià i, per tant, el procés de Cauchy és essencialment el resultat de dos processos de moviment brownià independents.

La representació de Lévy-Khintchine per al procés de Cauchy simètric és un triplet amb deriva zero i difusió zero, donant un triplet de Lévy-Khintchine de $(0,0,W)$, on $W(dx)=dx/(\pi x^2)$.

La funció característica marginal del procés de Cauchy simètric té la forma:

$\mathrm{E}\left[e^{i\theta X_t}\right]=e^{-t|\theta |}.$

La distribució de probabilitat marginal del procés de Cauchy simètric és la distribució de Cauchy la densitat de la qual és

$f(x;t)=\frac{1}{\pi }\left[\frac{t}{x^2+t^2}\right].$