Procés de Gauss–Màrkov

Els processos estocàstics de Gauss-Màrkov (anomenats així després de Carl Friedrich Gauss i Andrey Màrkov) són processos estocàstics que compleixen els requisits tant per als processos gaussians com per als processos de Màrkov.^[1]^[2] Un procés estacionari de Gauss-Màrkov és únic fins a reescalar; aquest procés també es coneix com a procés d'Ornstein–Uhlenbeck.^[3]

Els processos de Gauss-Markov obeeixen a les equacions de Langevin.^[4]

Propietats bàsiques

Tot procés de Gauss-Màrkov X(t) posseeix les tres propietats següents:

Si h ( t ) és una funció escalar diferent de zero de t, aleshores Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) també és un procés de Gauss-Màrkov
Si f ( t ) és una funció escalar no decreixent de t, aleshores Z ( t ) = X ( f ( t )) també és un procés de Gauss-Màrkov
Si el procés no és degenerat i el quadrat mitjà és continu, aleshores existeix una funció escalar diferent de zero h ( t ) i una funció escalar estrictament creixent f ( t ) tal que X ( t ) = h ( t ) W ( f ) ( t )), on W ( t ) és el procés de Wiener estàndard.

La propietat (3) significa que tot procés continu de Gauss-Màrkov no degenerat es pot sintetitzar a partir del procés estàndard de Wiener (SWP).

Un procés estacionari de Gauss-Markov amb variància $E (X^{2} (t)) = σ^{2}$ i constant de temps $β^{- 1}$ té les següents propietats.

Autocorrelació exponencial: $R_{x} (τ) = σ^{2} e^{- β | τ |} .$
Una funció de densitat espectral de potència (PSD) que té la mateixa forma que la distribució de Cauchy: $S_{x} (j ω) = \frac{2 σ^{2} β}{ω^{2} + β^{2}} .$ (Tingueu en compte que la distribució de Cauchy i aquest espectre difereixen pels factors d'escala).
L'anterior produeix la següent factorització espectral: $S_{x} (s) = \frac{2 σ^{2} β}{- s^{2} + β^{2}} = \frac{\sqrt{2 β} σ}{(s + β)} \cdot \frac{\sqrt{2 β} σ}{(- s + β)} .$ que és important en el filtratge de Wiener i altres àrees.

També hi ha algunes excepcions trivials a tot l'anterior.