Relacions de Kramers-Kronig

En matemàtiques i en física, les relacions de Kramers-Kronig descriuen la relació que existeix entre la part real i la part imaginària de certes funcions complexes. La condició perquè s'apliquin a una funció $f(\omega )$ és que aquesta ha de representar la transformada de Fourier d'un procés físic lineal i causal. Si escrivim

$F(\omega )=f_1(\omega )+i{F}_2(\omega )$,

amb $f_1$ i $F_2$ dues funcions reals, llavors les relacions de Kramers-Kronig són

$f_1(\omega )=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Omega }{F}_2(\mathrm{\Omega })}{{\mathrm{\Omega }}^2-{\omega }^2}d\mathrm{\Omega }$

$F_2(\omega )=-\frac{2\omega }{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f_1(\mathrm{\Omega })}{{\mathrm{\Omega }}^2-{\omega }^2}d\mathrm{\Omega }$.

Les relacions de Kramers-Kronig estan relacionades amb la transformada de Hilbert, i són freqüentment aplicades a la permitivitat $ϵ(\omega )$ dels materials. No obstant això, en aquest cas, cal tenir en compte que:

$F(\omega )=\chi (\omega )=ϵ(\omega )/{ϵ}_0-1$,

amb $\chi (\omega )$ la susceptibilitat elèctrica del material. La susceptibilitat pot interpretar com la transformada de Fourier de la resposta temporal del material a una excitació infinitament breu, és a dir, la seva resposta a l'impuls.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre