Sèrie alternada

En matemàtiques, una sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n,$

amb a_n ≥ 0 (o a_n ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme a_n convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|a_n+1|.

Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$

divergeix, mentre la versió que alternada

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},$

convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el test de Leibniz: si la successió $a_n$ és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

convergeix.

La suma parcial

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k$

es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent.

Si $a_n$ és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error

en aquesta aproximació és menor que $a_{n+1}$. Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió $a_n$ tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint $m<n$

$\begin{array}{ccc}|\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k|& =& |\sum _{k=m+1}^n(-1{)}^k{a}_k|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_n\\ \\ & =& a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_n<a_{m+1}\end{array}$

(la successió que és monòtona decreixent garanteix que $a_k-a_{k+1}>0$; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si $n$ és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració)

Com que $a_{m+1}\to 0$ quan $m\to \mathrm{\infty }$, la successió de sumes parcials és Cauchy i, per tant, la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depèn de $n$, també demostra que

$|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k|<a_{m+1}.$

Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el teorema de sèries de Riemann s'aplica a les seves reordenacions.