Submersió riemanniana

En geometria diferencial, una branca de les matemàtiques, una submersió riemanniana és una submersió d'una varietat riemanniana a una altra que respecta la mètrica, en el sentit que és una projecció ortogonal en espais tangencials.

Definició formal

Siguin (M, g) i (N, h) dues varietats riemannianes i $f:M\to N$ una submersió (surjectiva), és a dir una varietat fibrada. La distribució horitzontal $K:=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(df{)}^{\perp }$ és un subfibrat del fibrat tangent de $TM$ que depèn tant de la projecció $f$ com de la mètrica $g$.

Llavors, f rep el nom de submersió riemanniana si i només si, per tot $x\in M$, l'isomorfisme d'espais vectorials $(df{)}_x:K_x\to T_{f(x)}N$ és isomètrica, és a dir preserva longituds.

Exemples

Un exemple de submersió riemanniana sorgeix quan un grup de Lie $G$ actua isomètricament, lliurement im pròpia en una varietat riemanniana $(M,g)$. La projecció $\pi :M\to N$ a l'espai quocient $N=M/G$ equipat amb una mètrica quocient és una submersió riemanniana. Per exemple, la multiplicació component per component en $S^3\subset {ℂ}^2$ pel grup de nombres complexes unitaris dona lloc a la fibració de Hopf.

Propietats

Es pot calcular la curvatura seccional de l'espai objectiu d'una submersió riemanniana a partir de la curvatura de l'espai total mitjançant la fórmula d'O'Neill, que duu el nom de Barrett O'Neill:

$K_N(X,Y)=K_M(\tilde{X},\tilde{Y})+\frac{3}{4}|[\tilde{X},\tilde{Y}{]}^V{|}^2$

on $X,Y$ son camps vectorials ortonormals en $N$, $\tilde{X},\tilde{Y}$ les seves projeccions horitzontals a $M$, $[*,*]$ és el corxet Lie de camps vectorials i $Z^V$ és la projecció del camp vectorial $Z$ a la distribució vertical.

En particular la fita inferior per la curvatura seccional de $N$ és almenys tan gran com la fita inferior de la curvatura seccional de $M$.

Bibliografia

• Plantilla:Citation.
• Barrett O'Neill. The fundamental equations of a submersion. Michigan Math. J. 13 (1966), 459–469. Plantilla:Doi Plantilla:Free access