Subsuccessió

En matemàtiques, una subsuccessió o successió parcial és una successió formada per infinits termes d'una successió. És a dir, una subsuccessió $\{a_{n_k}{\}}_{n_k}$ de la successió $\{a_n{\}}_n$ compleix $\{a_{n_k}{\}}_{n_k}\subset \{a_n{\}}_n$.

Definició formal

Siguin $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ una successió i $N_0\subseteq \mathbb{N}$ un subconjunt dels naturals amb cardinalitat infinita, aleshores, $\{a_{n_k}{\}}_{n_k\in {\mathbb{N}}_{\mathrm{𝟘}}}$ és una subsuccessió de $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

Exemple

Donada una successió $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$,

• Els termes de $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ que ocupen una posició parella conformen una subsuccessió:

$\{a_{n_k}:=a_{2\cdot n}{\}}_{n_k}$

• Els termes de $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ que ocupen una posició senar conformen una altra subsuccessió:

$\{a_{n_p}:=a_{2\cdot n+1}{\}}_{n_p}$

Per exemple, la successió dels nombres parells és $a_n=2\cdot n$ (és a dir, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...). Les següents successions són subsuccessions d'aquesta:

• $b_k=a_{2\cdot k}$ (4, 8, 12, 16...)
• $c_k=a_{2\cdot k+1}$ (2, 6, 10, 14...)
• $d_k=2^k$ (2, 4, 8, 16, 32...)

La següent successió no és subsuccessió de $\{2\cdot n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$:

• $e_k=2$ (2, 2, 2, 2, 2...)

Propietats

Com que una subsuccessió és, en particular, una successió, mantenen les propietats d'aquestes. Els resultats més rellevants que involucren subsuccessions són els següents:

• Si una successió és convergent a $L\in ℝ$, aleshores totes les seves successions convergeixen també a $L$.
• Si una successió és fitada, aleshores totes les seves successions també ho són.
• Si una successió $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ té dues subsuccessions que convergeixen a límits distints, aleshores $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ no convergeix.
• Tota successió de reals fitada conté alguna subsuccessió convergent (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Bibliografia

• D'Angelo, J. P. and West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, pp. 277–279, 2000.

Vegeu també

• Successió
• Límit d'una successió
• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica
• Successió recurrent lineal
• Successió d'Ulam