Sumatori d'Euler

Plantilla:Vegeu lliure El sumatori d'Euler és un mètode de sumabilitat per a sèries convergents i divergents. Donada una sèrie Σa_n, si la seva Transformació d'euler convergeix a una suma, llavors aquella suma s'anomena el sumatori d'Euler de la sèrie original.

El sumatori d'Euler es pot generalitzar a una família de mètodes denotats (E, q), on q ≥ 0. La (E, 0) suma és el sumatori habitual (convergent), mentre (E, 1) és el sumatori d'Euler corrent. Tots aquests mètodes són estrictament més dèbils que el sumatori de Borel; per q > 0 són incomparables amb el sumatori d'Abel.

Definició

El sumatori d'Euler es fa servir especialment per accelerar la convergència de sèrie alternades i permet avaluar sumes divergents.

${}_{E_y}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j:=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{a}_j.$

Per justificar l'enfocament observeu que per a la suma intercanviada, l'sumatori d'Euler es redueixi a la sèrie inicial, perquè

$y^{j+1}\sum _{i=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}=1.$

Aquest mètode mateix no pot ser millorat per l'aplicació iterateda, ja que

${}_{E_{y_1}}{}_{E_{y_2}}\sum ={}_{E_{\frac{y_1{y}_2}{1+y_1+y_2}}}\sum .$

Exemples

• eS TÉ $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j{P}_k(j)=\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j{P}_k(j)$, si $P_k$ és un polinomi de grau k. Observeu que en aquest cas el sumatori d'Euler redueix una sèrie infinita a una suma finita.

• L'elecció particular $P_k(j):=(j+1{)}^k$ proporciona una representació explícita dels Nombres de Bernoulli, des de $\zeta (-k)=-\frac{B_{k+1}}{k+1}$. En efecte, aplicant el sumatori d'Euler als resultats de funció de zeta $\frac{1}{1-2^{k+1}}\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j(j+1{)}^k$, que és polinòmica per a $k$ un enter positiu; cfr. Funció zeta de Riemann.

• $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{z}^j=\frac{y}{1+y}\sum _{i=0}{\left(\frac{1+yz}{1+y}\right)}^i$. Amb una elecció apropiada de $y$ aquesta sèrie convergeix a $\frac{1}{1-z}$.

Vegeu també

• Sumatori de Borel

Referències

• Plantilla:Citar llibre
• Plantilla:Citar llibre

Enllaços externs

• Euler summation formula