Superfície d'Enneper

Una porció de la superfície d'Enneper

En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per:

$x=u(1-u^2/3+v^2)/3,$

$y=-v(1-v^2/3+u^2)/3,$

$z=(u^2-v^2)/3.$

Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la superfície minimal.

La parametrització de Weierstraß–Enneper és molt simple, $f(z)=1,g(z)=z$, i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa.

Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9:

$64z^9-128z^7+64z^5-702x^2{y}^2{z}^3-18x^2{y}^{2}z+144(y^2{z}^6-x^2{z}^6)$

$+162(y^4{z}^2-x^4{z}^2)+27(y^6-x^6)+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^2{z}^3+y^2{z}^3)$

$-432(x^2{z}^5+y^2{z}^5)+81(x^4{y}^2-x^2{y}^4)+240(y^2{z}^4-x^2{z}^4)-135(x^4{z}^3+y^4{z}^3)=0.$

Dualment, el pla tangent en el punt amb els paràmetres donats és $a+bx+cy+dz=0,$

on:

$a=-(u^2-v^2)(1+u^2/3+v^2/3),$

$b=6u,$

$c=6v,$

$d=-3(1-u^2-v^2).$

Els seus coeficients satisfan l'equació polinòmica de grau sis implícita:

$162a^2{b}^2{c}^2+6b^2{c}^2{d}^2-4(b^6+c^6)+54(a{b}^{4}d-a{c}^{4}d)+81(a^2{b}^4+a^2{c}^4)$

$+4(b^4{c}^2+b^2{c}^4)-3(b^4{d}^2+c^4{d}^2)+36(a{b}^2{d}^3-a{c}^2{d}^3)=0.$

El jacobià, la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana són:

$J=(1+u^2+v^2{)}^4/81,$

$K=-(4/9)/J,$

$H=0.$

La curvatura total és $-4\pi$. Osserman va demostrar que una superfície minimal completa en ${ℝ}^3$ amb una curvatura total de $-4\pi$ és o bé el catenoide o la superfície d'Enneper.

Una altra propietat n'és que totes les superfícies de Bézier minimals bicúbiques, fins a una transformació afí, són trossos d'aquesta superfície.

Es pot generalitzar a ordres de simetria rotacional majors usant la parametrització de Weierstraß–Enneper $f(z)=1,g(z)=z^k$ per a sencers k>1. Pot ser generalitzada per a majors dimensions; es coneixen superfícies semblants a la superfície d'Enneper en ${ℝ}^n$ fins a n igual a 7.

Enllaços externs

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Enneper surface», Encyclopaedia of Mathematics (en anglès), Springer, Plantilla:ISBN. 
• http://www.math.hmc.edu/~gu/corbis_and_surfaces/surfaces/enneper.html Plantilla:Webarchive.
• https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html Plantilla:Webarchive