Test de convergència

En matemàtiques, els tests de convergència són mètodes per avaluar la convergència, la convergència condicional, la convergència absoluta, l'interval de convergència o la divergència d'una sèrie infinita.

Llista de tests

• Límit del sumand. Si el límit del sumand és indefinit o diferent de zero, és a dir, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$, aleshores la sèrie divergeix. En aquest sentit, les sumes parcials són seqüències de Cauchy si i només si aquest límit existeix i és igual a zero. El test no és concloent si el límit del sumand és zero.
• Criteri de d'Alembert. Suposem que existeix $r$ tal que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.

• Criteri de l'arrel de Cauchy. Definim r com:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

on "lim sup" denota el límit superior (possiblement ∞; si el límit existeix és el mateix valor).

Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.

• Test de la integral (o criteri de la integral de Cauchy). La sèrie es pot comparar a una integral per establir-ne la convergència o divergència. Sigui $f:[1,\mathrm{\infty })\to {ℝ}_{+}$ una funció positiva i monòtona decreixent tal que $f(n)=a_n$. Si

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

aleshores la sèrie convergeix. Però si la integral divergeix, aleshores la sèrie també ho fa. Dit d'una altra manera, la sèrie convergeix si i només si la integral convergeix.

• Test de comparació directa. Si la sèrie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ és absolutament convergent i $|a_n|\le |b_n|$ per a n prou gran, aleshores la sèrie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergeix absolutament.
• Test de comparació de límits. Si $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}>0$, i el límit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existeix i és diferent de zero, aleshores $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergeix si i només si $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ convergeix.

• Test de condensació de Cauchy. Sigui $\left\{a_n\right\}$ una seqüència positiva no creixent. Aleshores la suma $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergeix si i només si la suma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ convergeix. A més, si convergeixen, aleshores $A\le A^{*}\le 2A$.
• Test d'Abel.Suposant que les següents condicions es compleixen:

1. $\sum a_n$ és una sèrie convergent,
2. $b_n$ és una successió monòtona i limitada

Llavors $\sum a_n{b}_n$ és també convergent. Noti's que aquest criteri és especialment peritnent i útil en el cas que $\sum a_n$ sigui una successió convergent no absoluta (llegeixi's condicional). Pel cas en què sigui absolutament convergent, tot i aplicar-se, és gairebé un corol·lari evident.

• Test per a sèries alternades (Criteri de Leibniz)
• Per a alguns tipus concrets de sèries hi ha tests de convergència més especialitzats; per exemple, per a les sèries de Fourier hi ha el test de Dini.

Vegeu també

• Regla de L'Hôpital

Enllaços externs

• Flowchart for choosing convergence test Plantilla:Webarchive
• Convergence of infinite series Plantilla:Webarchive