Distribució khi quadrat

Plantilla:Distribució de probabilitat En Teoria de la probabilitat i Estadística la distribució distribució khi quadrat ${\chi }^2$(pronunciat [xi] o [ci]), també anomenada khi quadrat de Pearson, amb $k$ de llibertat és la distribució de la suma dels quadrats de $k$ variables aleatòries normals estàndard independents. És un cas particular de la distribució gamma i es pot estendre a un nombre no enter de graus de llibertat. És molt important en Estadística ja que intervé en nombrosos tests estadístics, com el de la $t$ de Student o de la ${\chi }^2$ de Pearson, així com en la construcció de diversos intervals de confiança.

La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al.Plantilla:Sfn.

Definició, funció de densitat i funció de distribució

Siguin $Z_1,\dots ,Z_k$ variables aleatòries independents, totes amb distribució normal estàndard $𝒩(0,1)$. La variable aleatòria $$Q=Z_1^2+\cdots +Z_k^2$$es diu que té una distribució ${\chi }^2$ amb $k$ graus de llibertat i s'escriu $Q\sim {\chi }_k^2$ o $Q\sim {\chi }^2(k)$ .

La funció de densitat és $$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)},& \text{si}x>0,\\ 0,& \text{en cas contrari},\end{array}$$ on $\mathrm{\Gamma }(a)$ és la funció gamma. Per tant, tenim que la distribució coincideix amb una distribució gamma amb paràmetre de forma $k/2$ i paràmetre d'escala 2, $Q\sim \mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2},2)$ . Plantilla:Caixa desplegable

Funció de distribució

La funció de distribució es pot escriure en termes de la funció gamma incompleta: $$F(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}\gamma (\frac{k}{2},\frac{x}{2}),& \text{si}x\ge 0\\ 0,& \text{si}x<0,\end{array}$$on $\gamma (\nu ,x)$ és la funció gamma incompleta inferior.

Extensió a graus de llibertat no enters

La funció $f(x;k)$ està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol $k\in (0,\mathrm{\infty })$: en efecte, fixat qualsevol nombre real $k>0$, tenim que $f(x;k)\ge 0$ i $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;k)dx=1$. Aleshores, una variable aleatòria amb aquesta densitat es diu que té una distribució ${\chi }^2$ amb $k$ graus de llibertat. Alternativament, la distribució $\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2},2)$ està definida per a qualsevol $k\in (0,\mathrm{\infty })$. A partir d'ara, suposarem que $k\in (0,\mathrm{\infty })$. i especificarem quan suposem que $k$ és un nombre natural.

Moments, funció generatriu de moments i funció característica

Moments

Aquestes propietats es dedueixen particularitzant les corresponents propietats de la distribució gamma. Si $Q\sim {\chi }^2(k)$ aleshores té moments de tots els ordres, que valen $$E[Q]=k\text{i}E[Q^n]=k(k+2)\cdots (k+2n-2),n\ge 2.$$Utilitzant la funció Gamma es pot escriure

$$E[Q^n]=2^n\frac{\mathrm{\Gamma }((k/2)+n)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}.$$

En particular, $$E[Q^2]=k(k+2),$$ d'on $$\text{Var}(Q)=E[Q^2]-(E[Q]{)}^2=2k.$$ Així,

Plantilla:Teorema

Moments d'ordre negatiu

Si $X$ és una variable aleatòria positiva, $X\ge 0$, aleshores per a qualsevol $r>0$ podem calcular $$E[X^{-r}]=E\left[\frac{1}{X^r}\right],$$però pot donar $+\mathrm{\infty }$ . Quan dona finit, llavors es diu que la variable $X$ té moment d'ordre negatiu $-r$.

Sigui $Q\sim {\chi }^2(k)$. Llavors, si $r\in (0,\nu /2)$ , $Q$ té moment d'ordre negatiu $-r$ i val $$E[Q^{-r}]=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2}-r)}{2^r\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}.$$Per exemple, si $\nu =4$ , llavors $Q$ té moment negatiu d'ordre -1 i val $$E[Q^{-1}]=\frac{1}{2}.$$Aquesta propietat s'utilitza per a calcular els moments de distribucions de quocients (o ratios) de variables aleatòries independents quan al denominador hi ha una distribució khi quadrat, com en el cas d'una distribució $t$ de Student o una distribució $F$.

Funció generatriu de moments

La funció generatriu de moments és $$M(t)=\frac{1}{(1-2t{)}^{k/2}},t\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}).$$

Funció característica

La funció característica és $$\phi (t)=\frac{1}{(1-2it{)}^{k/2}},t\in ℝ.$$

Caràcter reproductiu

Del caràcter reproductiu de les distribucions gamma es dedueix el de les distribucions ${\chi }^2$: Siguin $Q_1,\dots ,Q_n$ independents, amb distribucions $Q_i\sim {\chi }^2(k_i)$, $1=1,\dots ,n$. Llavors, $$\sum _{i=1}^n{Q}_i\sim {\chi }^2\left(\sum _{i=1}^n{k}_i\right).$$

Propietat.: Siguin $Q_1\sim {\chi }^2(k_1)$ i $Q_2\sim {\chi }^2(k_2)$. Suposem que $Q=Q_1-Q_2$ és independent de $Q_2$. Aleshores $Q\sim {\chi }^2(k_1-k_2)$.

Plantilla:Caixa desplegable

Aproximació per la distribució normal

En aquesta secció considerarem la distribució ${\chi }^2$ amb un nombre enter de graus de llibertat. D'acord amb el teorema central del límit, si $Q_k\sim {\chi }^2(k)$, aleshores$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q_k-k}{\sqrt{2k}}=𝒩(0,1),\text{en distribució.}$$En altres paraules, per a $k$ gran, $Q_k$ és aproximadament normal $𝒩(k,2k)$.

Però aquesta aproximació demana $k$ força gran. La següent aproximació, deguda a Fisher, és més ràpida $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{2Q_k}-\sqrt{2k-1})=𝒩(0,1),\text{en distribució.}$$Equivalentment, per a $k$ gran, $\sqrt{2Q_k}$ és aproximadament normal $𝒩(\sqrt{2k-1},1)$ .

Segons Johnson et alPlantilla:Sfn encara és més ràpida l'aproximació deguda a Wilson and Hilferty: per a $k$ gran, $\sqrt[3]{Q_k/k}$ és aproximadament normal $𝒩(1-\frac{2}{9k},\frac{2}{9k}).$ Plantilla:Caixa desplegable

La distribució χ² i les mostres de poblacions normals

El següent resultat té una importància fonamental en la inferència estadística basada en mostres de poblacions normals.

A partir d'aquest teorema i del fet que $\bar{X}\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2/n)$, tenim que la variable aleatòria (estadístic)$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$ té una distribució $t$ de Sudent amb $n-1$ graus de llibertat: $T\sim t(n-1)$, on

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2,$$ és la variància mostral. Plantilla:Caixa desplegable

Relació amb altres distribucions

• Si $Q_k\sim {\chi }^2(k)$, aleshores $Q_k$ té una distribució gamma $\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2},2)$.
• Si $Q_k\sim {\chi }^2(k)$ i $c>0$, aleshores $c{Q}_k\sim \mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2},2c)$. En particular, per a $\theta >0$, tenim que $\frac{\theta }{2}{Q}_{2k}\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$. Aquesta propietat és deguda a la propietat d'escala de la distribució gamma.

• Relació amb la distribució de Poisson.Plantilla:Sfn. Sigui $Q_k\sim {\chi }^2(k)$ amb $k$ parell. Aleshores per a qualsevol $a>0$,

$$P(Q_k>a)=P(Y\le \frac{k}{2}-1),$$ on $Y$ és una variable aleatòria amb una distribució de Poisson de paràmetre $a/2$. Plantilla:Caixa desplegable

Noteu que aquesta propietat és equivalent a la que es formula a la pàgina de la distribució de Poisson: Si $Y$ és una variable amb distribució de Poisson de paràmetre $\lambda$, aleshores per a $n=0,1,2,\dots$,

$$P(Y\le n)=P(Q_{2(n+1)}>2\lambda ),$$

on $Q_{2(n+1)}\sim {\chi }^2(2(n+1))$.

• Si $Q\sim {\chi }_2^2$, aleshores $Q$ té una distribució exponencial de paràmetre 1/2.
• Si $Q\sim {\chi }_{2k}^2$, aleshores $Q$ té una distribució d'Erlang de paràmetres $k$ i 1/2.
• Si $X\sim \mathrm{Erlang}(k,\lambda )$ (distribució d'Erlang) llavors $2\lambda X\sim {\chi }^2(2k)$.
• Si $X\sim \mathrm{Rayleigh}(1)$ (distribució de Rayleigh) llavors $X^2\sim {\chi }^2(2)$.
• Si $X\sim \mathrm{Maxwell}(1)$ (distribució de Maxwell) llavors $X^2\sim {\chi }^2(3)$.
• Si $Q_1\sim {\chi }^2(k_1)$ i $Q_2\sim {\chi }^2(k_2)$ són independents, llavors $Q_1/(Q_1+Q_2)\sim \mathrm{Beta}(\frac{k_1}{2},\frac{k_2}{2})$ (Distribució beta).
• Si $X\sim \mathrm{U}(0,1)$ (distribució uniforme contínua) llavors $-2\log (X)\sim {\chi }^2(2)$.

Aplicacions

La distribució khi quadrat té moltes aplicacions en inferència estadística, per exemple en el test khi quadrat i en l'estimació de variàncies. També està involucrada en el problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda i en el problema d'estimar el pendent d'una recta de regressió lineal, a través del seu paper en la distribució t de Student, i participa en tots els problemes d'anàlisi de variància, pel seu paper en la distribució F de Snedecor, que és la distribució del quocient de dues variables aleatòries de distribució khi-quadrat i independents. També té ús al contrast de $k$ poblacions amb els contrasts d'homogeneïtat i al d'independència.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Distribució gamma
• Distribució exponencial
• Distribució de Poisson
• Prova de khi-quadrat de Pearson
• Distribució multinomial