Integral trigonomètrica

Per integrals simples de funcions trigonomètirques, vegi Primitives de funcions trigonomètriques.

Si(x) (Blau) i Ci(x) (verd) representats en el mateix gràfic.

Les integrals trigonomètriques són una família de les integrals que impliquen funcions trigonomètriques.

Integral del sinus

Trama de Si(x) per Plantilla:Math.

Les definicions d'integral sinus són

$\mathrm{Si}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{si}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt.$

L'integrand Plantilla:Frac és la funció sinc, i també el zero de la funció de Bessel. Plantilla:Math és una funció entera parell (holomorfa sobre tot el pla complex), per tant, Si és entera, senar, i la integral en la seva definició pot ser anar per qualsevol camí que connecta el extrems.

Per definició, Si(x) és la primitiva de Plantilla:Math, el valor de la qual és zero a x = 0, i si(x) és la primitiva el valor de la qual és zero a x = ∞. La seva diferència és donada per l'integral de Drichlet ,

$\mathrm{Si}(x)-\mathrm{si}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}\text{ or }\mathrm{Si}(x)=\frac{\pi }{2}+\mathrm{si}(x).$

Integral del cosinus

Gràfic de Ci(Plantilla:Math) per Plantilla:Nowrap x Plantilla:Nowrap 8π .

Les diferents definicions de l'integral cosinus són:

$\mathrm{Cin}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}\mathrm{d}t,$

$\mathrm{Ci}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}\mathrm{d}t=\gamma +\ln x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}\mathrm{d}t\text{ per }|\mathrm{Arg}(x)|<\pi ,$

On Plantilla:Mvar ≈ 0.57721566 ... és la constant d'Euler–Mascheroni.

Plantilla:Math és la primitiva de Plantilla:Math (que desapareix a mesura que $x\to \mathrm{\infty }$). Les dues definicions estan relacionades per

$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Cin}(x).$

Plantilla:Math és una funció entera parell. Per aquest motiu, alguns textos tracten Plantilla:Math com a la funció primària i deriven Ci a partir de Cin.

Integral del sinus hiperbòlic

La integral del sinus hiperbòlic és defineix com

$\mathrm{Shi}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh (t)}{t}dt.$

Esta relacionada a l'integral de sinus per

$\mathrm{Si}(ix)=i\mathrm{Shi}(x).$

Integral del cosinus hiperbòlic

La integral del cosinus hiperbòlic és

$\mathrm{Chi}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}\mathrm{d}t\text{ per }|\mathrm{Arg}(x)|<\pi ,$

On $\gamma$ és la Constant d'Euler-Mascheroni.

Té l'expansió de sèrie

$\mathrm{Chi}(x)=\gamma +\ln (x)+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{4320}+\frac{x^8}{322560}+\frac{x^{10}}{36288000}+O(x^{12}).$

Funcions auxiliars

Les integrals trigonomètriques poden ser enteses en termes de "funcions auxiliars"

$\begin{array}{ccccccc}f(x)& \equiv & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (t)}{t+x}\mathrm{d}t& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^2+1}\mathrm{d}t& =& \mathrm{Ci}(x)\sin (x)+[\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\cos (x),\text{ i }\\ g(x)& \equiv & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t)}{t+x}\mathrm{d}t& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t{e}^{-xt}}{t^2+1}\mathrm{d}t& =& -\mathrm{Ci}(x)\cos (x)+[\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\sin (x).\end{array}$

Utilitzant aquestes funcions, les integrals trigonomètriques poden expressar-se com (cf. Abramowitz & Stegun, p. 232)

$\begin{array}{ccc}\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)=-\mathrm{si}(x)& =& f(x)\cos (x)+g(x)\sin (x),\text{ i }\\ \mathrm{Ci}(x)& =& f(x)\sin (x)-g(x)\cos (x).\end{array}$

Espiral de Nielsen

Espiral de Nielsen

L'espiral format per la representació dels paramètres de si, ci es coneix com espiral de Nielsen.

$x(t)=a\times \mathrm{ci}(t)$
$y(t)=a\times \mathrm{si}(t)$

L'espiral de Nielsen està relacionat amb les integrals de Fresnel i l'espiral d'Euler. Té aplicacions dins el processament de la visió, la construcció de carreteres i altres camps.

Expansió

Es poden utilitzar diverses expansions per avaluar les integrals trigonomètriques, depenent en el rang de l'argument.

Sèrie asimptòtica (per argument gran)

$\mathrm{Si}(x)\sim \frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots )-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots )$

$\mathrm{Ci}(x)\sim \frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots )-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots ).$

Aquestes sèries són asimptòtiques i divergents, tot i que poden ser utilitzades per fer estimacions i avaluacions parells precises en ℜ(x) ≫ 1.

Sèries convergents

$\mathrm{Si}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}\pm \cdots$

$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}\mp \cdots$

Aquestes sèries són convergents a qualsevol Plantilla:Mvar complexa, tot i que per | x | Plantilla:Math, la sèrie convergirà lentament en l'inici, requerint molts termes per obtenir una precisió alta.

Derivació d'expansió de Sèries

(Expansió de sèrie Maclaurin)$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+...$

$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+...$

$\therefore \int \frac{\sin x}{x}dx=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}+\frac{x^9}{9!\cdot 9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot 11}+...$

Relació amb la integral exponencial d'argument imaginari

La funció

$${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-zt)}{t}dt\text{ per }\mathrm{\Re }(z)\ge 0$$

s'anomena integral exponencial. Està relacionada a Plantilla:Math i Ci,

$${\mathrm{E}}_1(ix)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{Si}(x))-\mathrm{Ci}(x)=i\mathrm{si}(x)-\mathrm{ci}(x)\text{ for }x>0.$$

Les funcions són analítiques excepte en el tall dels valors negatius de l'argument, per aquesta raó l'àrea de la validesa de la relació s'hauria d'estendre més enllà d'aquest rang.

Casos d'arguments imaginaris de la funció generalitzada integro-exponencial són

$$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (ax)\frac{\ln x}{x}dx=-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}+\sum _{n\ge 1}\frac{(-a^2{)}^n}{(2n)!(2n{)}^2},$$

que és la part real de

$$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{iax}\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}-\frac{\pi }{2}i(\gamma +\ln a)+\sum _{n\ge 1}\frac{(ia{)}^n}{n!n^2}.$$

De manera semblant

$$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=1+ia[-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a-1)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}-\ln a+1]+\frac{\pi a}{2}(\gamma +\ln a-1)+\sum _{n\ge 1}\frac{(ia{)}^{n+1}}{(n+1)!n^2}.$$

Bibliografia

• Plantilla:Cite arXiv
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-web

Enllaços externs

• http://mathworld.wolfram.com/sineintegral.html
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer