Exponencial integral

Gràfica de l'exponencial integral de $x$
(funció $Ei(x)$)

En l'àmbit de les matemàtiques, lPlantilla:'exponencial integral és una funció especial definida en el pla complex i identificada amb el símbol $Ei$.

La funció exponencial integral, $Ei(x)$, es defineix per:

$\text{Ei}(x)=-\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{d}t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t.$

Com la integral de $1/t$ divergeix en 0, aquesta definició ha de ser entesa en termes del valor principal de Cauchy.

$\text{Ei}(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\delta }{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\underset{\delta }{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t]$

L'algorisme de Risch mostra que no és una funció elemental.

La funció exponencial integral es pot desenvolupar en la sèrie:

$\text{Ei}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{kk!}$ (on Plantilla:Math és la constant d'Euler-Mascheroni).

Està connectada a una altra funció definida per:

${\mathrm{E}}_1(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{d}t=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-x}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t.$

Aquesta funció amplia l'exponencial integral als reals negatius donada la identitat:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(-x)=-{\mathrm{E}}_1(x).$

Les dues funcions s'expressen en funció de la funció entera definida per:

$\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-{\mathrm{e}}^{-t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{kk!}.$

i es pot escriure

${\mathrm{E}}_1(x)=-\gamma -\ln x+\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)$

o

$\mathrm{E}\mathrm{i}(-x)=\gamma +\ln x-\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(x).$

Definicions

Gràfica de la funció ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ (a dalt) i de la funció $Ei$ (a baix)

Per a valors reals de $x$, la funció exponencial integral, $Ei(x)$, es defineix com

$\text{Ei}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t.$

Aquesta definició pot ser utilitzada per a valors positius de $x$, però a causa de la singularitat de l'integrant en zero, la integral ha de ser interpretada en terme del valor principal de Cauchy. Per a valors complexos de l'argument, aquesta definició és ambigua a causa dels punts de ramificació en $0$ i en $\mathrm{\infty }$.Plantilla:Sfn En general, es realitza un tall en l'eix real negatiu i $Ei$ pot ser definida mitjançant una continuació analítica a la resta del pla complex.

S'utilitza la següent notació,Plantilla:Sfn

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t,|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

Per a valors positius de la part real de $z$, això es pot expressar comPlantilla:Sfn

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)\ge 0.$

El comportament de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ prop de la branca tallada pot ser analitzat mitjançant la següent relació:Plantilla:Sfn

$\underset{\delta \to 0\pm }{\lim }{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(-x+i\delta )=-\mathrm{E}\mathrm{i}(x)\mp i\pi ,x>0,$

Propietats

Les propietats de l'exponencial integral mostrades, a vegades, permeten sortejar l'avaluació explícita de la funció a partir de la definició donada a dalt.

Sèries convergents

Després d'integrar la sèrie de Taylor de $e^{-t}/t$, i extreure la singularitat logarítmica, es pot obtenir la següent representació en forma de sèrie de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)$ per a $x$ real:Plantilla:Sfn

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{kk!}x>0$

Per arguments complexos fora de l'eix real, aquesta sèrie es generalitza enPlantilla:Sfn

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}(|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi )$ (on $\gamma$ és la constant d'Euler-Mascheroni).

La suma convergeix per a tot $z$ complex, i prenem el valor usual del logaritme complex amb el tall de branca al llarg de l'eix real negatiu. Aquesta fórmula es pot utilitzar per calcular $E_1(x)$ amb operacions de punt flotant per a $x$ real entre 0 i 2,5. Per $x>2.5$, el resultat és inexacte i pot causar una cancel·lació numérica.

Ramanujan va trobar una sèrie convergent més ràpida:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\exp (x/2)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}$

Sèries asimptòtiques (divergents)

Error relatiu de l'aproximació asimptòtica per a diferents valors del nombre $N$ en funció de la suma parcial : $N=1$ (vermell), $2$ (verd), $3$ (groc), $4$ (blau) i $5$ (rosa)

Per desgràcia, la convergència de les sèries mostrades a dalt és molt lenta per arguments amb gran mòdul. Per exemple, per $x=10$, es necessiten més de 40 termes per obtenir una resposta correcta amb 3 xifres significatives.Plantilla:Sfn No obstant això, hi ha una sèrie asimptòtica divergent que pot ser obtinguda a partir de la integració per parts de $z{e}^z{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)$:Plantilla:Sfn

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=\frac{\exp (-z)}{z}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{n!}{(-z{)}^n}$

on l'error és de l'ordre $O(N!z^{-N})$ i és vàlid per a grans valors de $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$.

L'error relatiu de la sèrie asimptòtica es mostra a la gràfica de la dreta per a diversos valors de $N$ ($N=1$ en vermell, $N=5$ en rosa).

Comportament exponencial i logarítmic: Acotaments

Acotament de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ per funcions elementals

De les sèries donades a dalt, es dedueix que ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$es comporta com una exponencial negativa per a grans valors de l'argument i com un logaritme per a petits valors del mateix. Per a valors reals positius de l'argument, ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ queda acotada superior i inferiorment per les funcions elementals:Plantilla:Sfn

$\frac{1}{2}{e}^{-x}\ln (1+\frac{2}{x})<{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)<e^{-x}\ln (1+\frac{1}{x})x>0$

La part esquerra de la desigualtat es mostra a la gràfica de la dreta en blau, la part central, que és ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)$, és la corba negra i la part de la dreta és la corba vermella.

Definició mitjançant $\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}$

Les funcions $\mathrm{E}\mathrm{i}$ i ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ poden ser escrites de forma més simple mitjançant la funció entera $\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}$,Plantilla:Sfn definida com:

$\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}(1-e^{-t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}$

(cal notar que aquesta és la sèrie alternada que apareixia en la definició de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$. Se segueix immediatament que:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z+\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(z)|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(-x)x>0$

Relació amb altres funcions

La integral exponencial està estretament relacionada amb la funció logaritme integral, definida com:

$\text{li}(x):=\text{Ei}(\ln (x))$

per a tot $x$ real positiu més gran d'$1$.

L'equació de Kummer

$z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(b-z)\frac{dw}{dz}-aw=0$

en general es resol mitjançant les funcions hipergeomètriques confluents $M(a,b,z)$ i $U(a,b,z).$ Però quan $a=0$ i $b=1,$ llavors

$z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(1-z)\frac{dw}{dz}=0$

tenim

$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$

per a tot $z$. Una segona solució ve donada llavors per $E_1(-z)$. De fet,

$E_1(-z)=-\gamma -i\pi +\frac{\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a},0<\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)<2\pi$

amb la derivada avaluada en $a=0.$ Una altra relació amb les funcions hipergeométriques confluents és que $E_1$ és una funció de temps exponencial $U(1,1,z)$:

$E_1(z)=e^{-z}U(1,1,z)$

L'exponencial integral també pot ser generalitzada a

$E_n(x)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^n}dt,$

que es pot escriure com un cas especial de la funció gamma incompleta:Plantilla:Sfn

$E_n(x)=x^{n-1}\mathrm{\Gamma }(1-n,x).$

Per obtenir més informació sobre les propietats d'aquesta funció, consulteu l'article més extens sobre la funció gamma incompleta. La forma generalitzada a vegades es diu la funció Misra ${\phi }_m(x)$,Plantilla:Sfn definida com:

${\phi }_m(x)=E_{-m}(x).$

Incloent un logaritme es defineix la funció integral exponencial generalitzadaPlantilla:Sfn

$E_s^j(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\log t{)}^j\frac{e^{-zt}}{t^s}dt$.

La integral indefinida:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(a\cdot b)=\iint e^{ab}dadb$

és similar en forma a la funció generatriu ordinària per $d(n)$, el nombre de divisors de $n$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}d(n)x^n=\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{ab}$

Derivades

Les derivades de les funcions ${\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}$ es poden obtenir mitjançant l'ús de la fórmulaPlantilla:Sfn

${{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}}^{\prime }(z)=-{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}(z)(n=1,2,3,\dots )$

Vegeu que la funció ${\mathrm{E}}_{\mathrm{0}}$ és senzilla d'avaluar (donant un terme inicial a la relació recursiva), ja que és $e^{-z}/z$.Plantilla:Sfn

Exponencial integral d'un argument imaginari

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(ix)$ respecte a $x$; part real en negre, part imaginària en vermell

Si $z$ és imaginari i la funció té una part real no nul·la, podem fer servir la fórmula

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}\mathrm{d}t$

per obtenir una relació de l'exponencial integral amb les integrals trigonomètriques $\mathrm{S}\mathrm{i}$ i $\mathrm{C}\mathrm{i}$:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(ix)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{S}\mathrm{i}(x))-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)(x>0)$

Les parts real i imaginària de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)$ estan dibuixades en la gràfica de la dreta, en negre i vermell respectivament.

Aproximacions

Hi ha un nombre d'aproximacions per a la funció exponencial integral. Aquestes inclouen:

Aproximació de Swamee i Ohija

$E_1(x)=(A^{-7.7}+B{)}^{-0.13}$,

on $A=\ln \left[\right(\frac{0.56146}{x}+0.65)(1+x)]$, i $B=x^4{e}^{7.7x}(2+x{)}^{3.7}$Plantilla:Sfn

Aproximació d'Allen i Hastings

$E_1(x)=\{\begin{array}{cc}\ln x+{\mathbf{\text{a}}}^T{\mathbf{\text{x}}}_5,& x\le 1\\ \frac{e^{-x}}{x}\frac{{\mathbf{\text{b}}}^T{\mathbf{\text{x}}}_4}{{\mathbf{\text{c}}}^T{\mathbf{\text{x}}}_4},& x\ge 1\end{array}$

on $\mathbf{\text{a}}\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.5519,-0.00976,0.00108{]}^T$, $\mathbf{\text{b}}\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333{]}^T$, $\mathbf{\text{c}}\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332{]}^T$, i ${\mathbf{\text{x}}}_k\triangleq [x^0,x^1,\dots ,x^k{]}^T$.Plantilla:SfnPlantilla:Sfn

Expansió en fracció contínua

Plantilla:Vegeu també $E_1(x)=\frac{e^{-x}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x+\frac{2}{1+\frac{2}{x+\frac{3}{\dots }}}}}}.$Plantilla:Sfn

Aproximació de Barry, Parlange i Lee

$E_1(x)=\frac{e^{-x}}{G+(1-G)e^{-x/(1-G)}}\ln [1+\frac{G}{x}-\frac{1-G}{(h+bx{)}^2}]$

on $h=\frac{1}{1+x\sqrt{x}}+\frac{h_{\mathrm{\infty }}q}{1+q}$, $q=\frac{20}{47}{x}^{\sqrt{31/26}}$, $h_{\mathrm{\infty }}=\frac{(1-G)(G^2-6G+12)}{3G(2-G{)}^{2}b},$ $b=\sqrt{\frac{2(1-G)}{G(2-G)}},$ $G=e^{-\gamma }$,Plantilla:Sfn on $\gamma$ és la constant d'Euler–Mascheroni.

Per a valors de $x$ entre 0 i 2,5

Sigui:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}(|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi ).$

La suma convergeix per a tot $x$ real positiu, però amb operacions de punt flotant, el resultat és incorrecte per $x>2,5$, a causa de la pèrdua de precisió en relació al restar el nombre d'ordres de diferents magnituds.

Per valors de $x$ > 40

Existeix una sèrie divergent que permet d'apropar $E_1$ per a valors grans de $Re(z)$ obtinguts mitjançant la integració per parts,Plantilla:Sfn el que dona la següent expansió asimptòtica:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=\frac{\exp (-z)}{z}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{n!}{(-z{)}^n}+o\left(\frac{\exp (-z)}{z^N}\right).$

Per tal de tenir una precisió de 64 bits (doble precisió), s'utilitza el valor $N=40$.

Aplicacions

• Transmissió de calor amb dependència temporal.
• Flux d'aigües subterrànies fora de l'equilibri en la solució de Theis.
• Transferència radiativa en atmosferes estel·lars.
• Equació de difusivitat radial per a fluxos transitoris o de flux no estacionari entre fonts i embornals amb forma de línia recta.
• Solucions a l'equació del transport de neutrons en geometries simplificades 1-D.Plantilla:Sfn

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre, jstor 2007964, mr 0777276
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Constant de Gompertz
• Cosinus integral
• Integral de Goodwin-Staton
• Logaritme integral
• Sinus integral

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld Plantilla:En
• Plantilla:MathWorld Plantilla:En
• Formulas and identities for Ei Plantilla:En