Constant de Gompertz

En matemàtiques, la constant de Gompertz o constant d'Euler-Gompertz, denotada per $G$, és una constant matemàtica que apareix en avaluacions integrals i com a valor de funcions especials. Porta el nom del matemàtic anglès Benjamin Gompertz.

El valor numèric de $G$ és de:

$G=0.596347362323194074341078499369279376074\dots$Plantilla:OEIS

A més, pot ser definida per la fracció contínua:

$G=\frac{1}{2-\frac{1}{4-\frac{4}{6-\frac{9}{8-\frac{16}{10-\frac{25}{12-\frac{36}{14-\frac{49}{16-\ddots }}}}}}}},$

o, alternativament, per:

$G=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{3}{1+4\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}}.$

L'aparició més freqüent de $G$ és com a resultat de les següents integrals:

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1+x)e^{-x}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}}{1+x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-\log (x)}dx.$

Quan estudiava sèries infinites divergents, Euler es va trobar $G$ a través de les representacions integrals mencionades. L'enginyer químic francès François Le Lionnais va anomenar $G$ constant de Gompertz pel seu paper en la funció de Gompertz.

Identitats en què apareix la constant de Gompertz

La constant $G$ pot ser expressada per l'exponencial integral com:

$G=-e\text{Ei}(-1).$

Aplicant l'expansió en sèrie de Taylor de $\text{Ei}$ es té que:

$G=-e(\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n\cdot n!}).$

La constant de Gompertz està relacionada amb els coeficients de Gregory a través de la fórmula de I. Mező de 2013:

$G=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (n+1)}{n!}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+1}\{e\cdot n!\}-\frac{1}{2}.$

Enllaços externs

• Constant de Gompertz a Wolfram MathWorld