Distribució d'Irwin-Hall

Plantilla:Distribució de probabilitat En probabilitat i estadística, la distribució d'Irwin-Hall, anomenada així en honor a Joseph Oscar Irwin i Philip Hall, és la distribució de probabilitat de la suma d'un nombre de variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Per aquest motiu també es coneix com a distribució de suma uniforme. Aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770 i per Nicolai Lobatxevski el 1832, i redescobertes per nombrosos autors.

La distribució d'Irwin-Hall està relacionada amb la distribució de Bates, que és la mitjana de n variables aleatòries independents distribuïdes uniformement en [0,1].

Definició

La distribució de Irwin–Hall és la distribució de probabilitat de la suma de $n$ variables aleatòries $U_1,\dots ,U_n$ independents totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]:

$$S_n=\sum _{i=1}^n{U}_i.$$

La funció de densitat de probabilitat està donada per

$$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{(n-1)!}\sum _{j=0}^n(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(x-j{)}_{+}^{n-1},& \text{si}x\in [0,n],\\ \\ 0,& \text{altrament,}\end{array}(1)$$on, per a un nombre real $r$ i un nombre natural $m$ ,

$$(r{)}_{+}^m=\{\begin{array}{cc}{r}^m,& \text{si}r>0,\\ 0,& \text{si}r\le 0.\end{array}$$Alternativament, $$f_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\sum _{j=0}^{[x]}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(x-j{)}^{n-1},x\in [0,n],(2)$$ on $[r]$ és la part entera del nombre real $r$ . L'equivalència entre les expressions (1) i (2) de $f_n$ es dedueix del fet que per a $j=[x]+1,\dots ,n$, tenim que $x-j<0$.

Aquesta densitat també es pot escriure $$f_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\sum _{j=0}^k(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(x-j{)}^{n-1},x\in [k,k+1],(3)$$amb $k=0,1\dots ,n-1$ .

Càlculs explícits i demostració de la fórmula general

Funció de densitat per a n =1, 2 i 3

Figura 1. Funció de densitat $f_1$

Per a $𝒏\mathit{=}1$, la funció de densitat $f_1$ és la densitat d'una distribució uniforme en l'interval [0,1]: $$f_1(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si}x\in [0,1],\\ \\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$ Vegeu la Figura 1.

Quan $𝒏\mathit{=}2$. $$f_2(x)=\{\begin{array}{cc}x,& \text{si}x\in [0,1),\\ \\ 2-x,& \text{si}x\in [1,2],\\ \\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$Vegeu la Figura 2. La distribució amb aquesta funció de densitat s'anomena distribució triangular.

Figura 2. Funció de densitat $f_2$

La demostració d'aquesta fórmula es fa utilitzant la següent propietat:

Propietat: Funció de densitat de la suma de variables aleatòries independents . Considerem dues variables aleatòries $X$ i $Y$ independents amb funcions de densitat $f_X$ i $f_Y$ respectivament. Sigui $$Z=X+Y.$$ Aleshores $Z$ té funció de densitat $$f_Z(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_Y(x-u)f_X(u)du=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(x-u)f_Y(u)du.(4)$$

Retornem al cas $n=2$. D'acord amb (4), $$f_2(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(x-y)f_1(y)dy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_1(x-y)dy.$$ Fem el canvi de variable $u=x-y$ i obtenim$$f_2(x)=\underset{x-1}{\overset{x}{\int }}{f}_1(u)du.$$ Ara hem de distingir 3 casos:

• Cas 1. Si $x\in [0,1)$, vegeu la Figura 3, aleshores, atès que $f_1(u)$ és zero a menys que $u\in [0,1]$, tindrem $$f_2(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{f}_1(u)du=x.$$

Figura 3. Càlcul de la funció de densitat $f_2$, cas 1

• Cas 2. Si $x\in (1,2]$, vegeu la Figura 4, aleshores,

$$f_2(x)=\underset{x-1}{\overset{1}{\int }}{f}_1(u)du=x-2.$$

Figura 4. Càlcul de la funció de densitat $f_2$, cas 2

• Cas 3. Finalment, si $x\in ̸[0,2]$, és clar que $f_2(x)=0$.

Per a $𝒏\mathit{=}3$, $$f_3(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2}{2},& \text{si}x\in [0,1),\\ \\ -x^2+3x-\frac{3}{2},& \text{si}x\in [1,2),\\ \\ \frac{(2-x{)}^2}{2},& \text{si}x\in [2,3],\\ \\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$

Figura 5.Funció de densitat $f_3$

La demostració es fa com en el cas anterior, aplicant la fórmula (4):$$f_3(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_2(x-y)f_1(y)dy=\underset{-0}{\overset{1}{\int }}{f}_2(x-y)dy=\underset{x-1}{\overset{x}{\int }}{f}_2(u)du.$$ Ara cal distingir els casos $x\in [0,1)$, $x\in [1,2)$, etc. Per exemple, quan $x\in [1,2)$, $$f_3(x)=\underset{x-1}{\overset{x}{\int }}{f}_2(u)du=\underset{x-1}{\overset{1}{\int }}udu+\underset{1}{\overset{x}{\int }}(2-u)du,$$ i ara es calculen ambdues integrals.

Plantilla:Caixa desplegable

Funció de distribució

La funció de distribució és $$F_n(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{f}_n(x)dx=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si}t<0,\\ \\ \frac{1}{n!}\sum _{j=0}^n(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(t-j{)}_{+}^n,& t\in [0,n],\\ \\ 1,& \text{si}t>n.\end{array}$$Evidentment, també es poden calcular expressions equivalents a partir de (2) i (3).

La funció de densitat és un spline

És interessant notar que la funció de densitat $f_n(x)$ a l'interval $[0,n]$ és un spline (funció polinòmica a trossos) de grau $n-1$ sobre els nusos $0,1,\dots ,n$:$$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}{f}_n^{(0)}(x),& \text{si}x\in [0,1],\\ f_n^{(1)}(x),& \text{si}x\in [1,2],\\ ⋮& \\ f_n^{(n-1)}(x),& \text{si}x\in [n-1,n],\end{array}$$on $f_n^{(0)},\dots ,f_n^{(n-1)}$ són polinomis de grau $n-1$, que podem escriure, per a $k=0,\dots ,n-1$,$$f_n^{(k)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j(k,n)x^j,x\in [k,k+1].$$on els coeficients $a_j(k,n)$ es poden calcular recursivament en $k$ per la fórmula $$a_j(k,n)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{per a}k=0,j=0,\dots ,n-1,\\ \\ 1,& \text{per a}k=0,j=n-1,\\ a_j(k-1,n)+(-1{)}^{n+k-j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j})k^{n-j-1},& \text{per a}k=1,\dots ,n-1,j=0,,\dots ,n-1.\end{array}$$Per exemple, per a $n=4$ tenim, per a $k=0$ , $$a_0(0,4)=a_1(0,4)=a_2(0,4)=0,a_3(0,4)=1.$$Per tant, $$f_4^{(0)}(x)=\frac{1}{6}{x}^3.$$Per a $k=1$, tenim$$a_0(1,4)=4,a_1(1,4)=-12,a_2(1,4)=12,a_3(1,4)=-3.$$D'on $$f_4^{(1)}(x)=\frac{1}{6}(4-12x+12x^2-3x^3).$$Calculant els altres coeficients tenim, $$f_4(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{6}{x}^3,& \text{si}x\in [0,1],\\ \frac{1}{6}(4-12x+12x^2-3x^3),& \text{si},x\in [1,2],\\ \frac{1}{6}(-44+60x-24x^2+3x^3),& \text{si},x\in [2,3],\\ \frac{1}{6}(64-48x+12x^2-x^3),& \text{si},x\in [3,4].\end{array}$$ Plantilla:Caixa desplegable

D'altra banda, la successió $$\stackrel{n=1}{\overbrace{\underset{k=0}{\underbrace{a_0(0,1)}}}},\stackrel{n=2}{\overbrace{\underset{k=0}{\underbrace{a_0(0,2),a_1(0,2)}},\underset{k=1}{\underbrace{a_0(1,2),a_1(1,2)}}}},\stackrel{n=3}{\overbrace{\underset{k=0}{\underbrace{a_0(0,3),a_1(0,3),a_2(0,3)}},\underset{k=1}{\underbrace{a_0(1,3),a_1(1,3),a_2(1,3)}},\underset{k=2}{\underbrace{a_0(2,3),a_1(2,3),a_2(2,3)}}}},\dots$$ està recollida a The on-line Encyclopedia of integer sequences, on hi ha els seus valors fins al terme $a_0(4,5)$. A més, també es donen fórmules per als programari Mathematica i Maple per a calcular qualsevol terme. Per a $n=5$$$f_5(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{24}{x}^4,& \text{si}x\in [0,1],\\ \frac{1}{24}(-5+20x-30x^2+20x^3-4x^4),& \text{si}x\in [1,2],\\ \frac{1}{24}(155-300x+210x^2-60x^3+6x^4),& \text{si}x\in [2,3],\\ \frac{1}{24}(-655+780x-330x^2+60x^3-4x^4),& \text{si}x\in [3,4],\\ \frac{1}{24}(625-500x+150x^2-20x^3+x^4),& \text{si}x\in [4,5].\end{array}$$La funció de distribució també és un spline a $[0,n]$ i els coeficients dels diferents polinomis també estàn recollits a The on-line Encyclopedia of integer sequences

Aproximació normal

D'acord amb el teorema central del límit, atès que $$E[U_i]=\frac{1}{2}\text{i}\text{Var}(U_i)=\frac{1}{12},$$ tenim que

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{\frac{12}{n}}(S_n-\frac{n}{2})=Z,\text{en distribució},$$on $Z$ te una distribució normal estàndard $𝒩(0,1)$ (vegeu la remarca 2 a la pàgina teorema central del límit ). També es diu que $S_n$ és asimptòticament normal amb mitjana $n/2$ i variància $n/12$ i s'escriu $$S_n\sim 𝒜𝒩(\frac{n}{2},\frac{n}{12}).$$

Generalitzacions

Suma de variables uniformes en l'interval [0,c]

La funció de densitat de la suma de $n$ variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval $[0,c]$ amb $c>1$ , que designarem per $f_n(x;0,c)$ és $$f_{n;0,c}(x)=\frac{1}{c^n(n-1)!}\sum _{j=0}^n(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(x-cj{)}_{+}^{n-1},x\in [0,cn].$$

Cas de Lobatxevski: suma de variables uniformes en l'interval [-1,1]

Lobatxevski (vegeu també) considera el cas de la suma de $n$ variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$. La seva densitat, que denotarem per $f_n(x;-1,1)$ és $$f_n(x;-1,1)=\frac{1}{2^n(n-1)!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+n-2k{)}_{+}^{n-1},x\in [-n,n].$$Alternativament, $$f_n(x;-1,1)=\frac{1}{2^n(n-1)!}\sum _{k=0}^{\left[\frac{x+n}{2}\right]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+n-2k{)}^{n-1},x\in [-n,n].$$

Cas general: suma de variables uniformes en l'interval [a,b]

Siguin $V_1,\dots ,V_n$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval $[a,b]$ amb $a<b$. Designem per $S_{n;a,b}$ la seva suma: $$S_{n;a,b}=\sum _{i=1}^n{V}_i.$$Sigui $f_n(x;a,b)$ la seva funció de densitat . Aleshores, $$f_n(x;a,b)=\frac{1}{b-a}{f}_n\left(\frac{x-na}{b-a}\right),x\in [na,nb].$$

Plantilla:Caixa desplegable

Vegeu també

• Distribució de Bates
• Distribució uniforme contínua
• Distribució triangular

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre