1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Comportament asimptòtic de l'allisament. La recta d'allisament intersecta l'eix y en −Plantilla:Sfrac.

En matemàtiques, Plantilla:Nowrap, també escrit $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{1}^n$, o senzillament $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$, és una sèrie divergent, és a dir: la seva seqüència de sumes parcials no convergeix a un límit en els nombres reals. Es pot entendre la seqüència 1n com a sèrie geomètrica amb la proporció comuna 1. A diferència d'altres sèries geomètriques amb ratio racional (excepte −1), convergeix dins ni els números reals ni en el [[Nombre p-àdic|Plantilla:Mvar]]p-adic números per algun p. En el context de la recta real estesa

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=+\mathrm{\infty },$

ja que la seva seqüència de sumes parcials creix monòtonament sense estar fitada per dalt.

Sempre que la suma de Plantilla:Math aparegui en aplicacions físiques, es pot interpretar de vegades com la regularització de la funció zeta, com el valor per s = 0 de la funció zeta de Riemann:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}.$

Tanmateix, les dues fórmules que s'han donat no són vàlides per zero, però la continuació analítica és

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s),$

Utilitzant aquesta s'obté (atès que Γ(1) = 1),

$\zeta (0)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\zeta (1-s)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+...)(-\frac{1}{s}+...)=-\frac{1}{2}$

on la l'expansió en sèrie de potències de Plantilla:Math al voltant de s = 1 segueix ja que ζ(s) hi té un pol simple de residu. En aquest sentit Plantilla:Math .

Emilio Elizalde va comentar sobre aquesta sèrie: Plantilla:Citació

Vegeu també

• Grandi sèrie
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• Sèrie harmònica

Enllaços externs

• Seqüència A000012 OEIS: La seqüència de nombres positius més simple: la seqüència de només 1s