Constant de Glaisher-Kinkelin

En matemàtiques, la constant de Glaisher-Kinkelin o simplement constant de Glaisher, anotada típicament A, és una constant matemàtica relacionada amb la funció K i la funció G de Barnes. La constant apareix en cert nombre de sumatoris i integrals, especialment els relacionats amb la funció gamma i la funció zeta de Riemann. Rep el nom del matemàtic anglès James Whitbread Lee Glaisher i el suís Hermann Kinkelin.

Valor

El valor de la constant és:

A \approx 1.2824271291 \dots

La constant $A$ pot ser donada pel límit:

A = \lim_{n \to \infty} \frac{K (n + 1)}{n^{n^{2} / 2 + n / 2 + 1 / 12} e^{- n^{2} / 4}}

on $K (n) = \prod_{k = 1}^{n - 1} k^{k}$ és la funció K. Relacionant aquesta funció amb la funció G de Barnes:

$G (n) = \prod_{k = 1}^{n - 2} k! = \frac{{[Γ (n)]}^{n - 1}}{K (n)}$

on $Γ (n)$ és la funció gamma, tindrem la identitat següent:

A = \lim_{n \to \infty} \frac{(2 π)^{n / 2} n^{n^{2} / 2 - 1 / 12} e^{- 3 n^{2} / 4 + 1 / 12}}{G (n + 1)}

.

La constant de Glaisher-Kinkelin apareix en la funció zeta de Riemann:

ζ^{'} (- 1) = \frac{1}{12} - \ln A

ζ^{'} (2) = - \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{\ln k}{k^{2}} = - \frac{π^{2}}{6} [12 \ln A - γ - \ln (2 π)]

Algunes integrals relacionades amb la constant són:

\int_{0}^{1 / 2} \ln Γ (x) d x = \frac{3}{2} \ln A + \frac{5}{24} \ln 2 + \frac{1}{4} \ln π

\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{e^{2 π x} - 1} d x = \frac{1}{2} ζ^{'} (- 1) = \frac{1}{24} - \frac{1}{2} \ln A

Una representació en sèrie de la constant és la donada d'una sèrie de la funció zeta de Riemann atribuïda a Helmut Hasse:

\ln A = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) {(k + 1)}^{2} \ln (k + 1)