Funció K

En matemàtiques, la funció K, normalment escrit K(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters hiperfactorials H(n) de Neil Sloane i Simon Plouffe, així com la funció gamma és una extensió complexa de la successió dels factorials.

Definició

Formalment, la funció K es defineix com

$K(z)=(2\pi {)}^{(-z+1)/2}\exp [\left(\begin{array}{c}z\\ 2\end{array}\right)+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln (\mathrm{\Gamma }(t+1))dt].$

També es pot donar en forma tancada com

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)]$

on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta de Hurwitz, i

${\zeta }^{\prime }(a,z)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left[\frac{\partial \zeta (s,z)}{\partial s}\right]}_{s=a}.$

Una altra funció, usant la funció poligamma, és

$K(z)=\exp ({\psi }^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac{z}{2}\ln (2\pi ))$

O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:

$K(z)=A{e}^{\psi (-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}$

on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Més prosaicament, es pot escriure

$K(n+1)=1^1{2}^2{3}^3\cdots n^n.$

o

$K(n)=1^1{2}^2{3}^3\cdots (n-1{)}^{n-1}.$

El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que

$\frac{1}{K(n)}=(-1{)}^n\text{det}\left|\begin{array}{ccccc}-1& -1& -1& \cdots & -1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{8}& \cdots & \frac{1}{2^n}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{9}& -\frac{1}{27}& \cdots & -\frac{1}{3^n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \frac{(-1{)}^n}{n^2}& \frac{(-1{)}^n}{n^3}& \cdots & \frac{(-1{)}^n}{n^n}\end{array}\right|$

Relació amb la funció G-Barnes

La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}.$

També tenim

$K(z)\cdot G(z)=\exp \{(z-1)\cdot \log [\mathrm{\Gamma }(z)]\},$

per a tot $z\in ℂ.$

Valors particulars

Els primers valors de la funció són:

K(0) = 1

K(1) = 1

K(2) = 4

K(3) = 108

K(4) = 27.648

K(5) = 86.400.000

K(6) = 4.031.078.400.000

K(7) = 3.319.766.398.771.200.000

K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000

K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000

K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000

El valor de $K(\frac{1}{2})$ ve donat per

$K(\frac{1}{2})=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}$

on $A$ representa la constant de Glaisher-Kinkelin.

Enllaços externs

• Plantilla:Mathworld