Funció G-Barnes

En matemàtiques, la funció G-Barnes, normalment escrit G(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters superfactorials. Fins als factors elementals, és un cas especial de la funció gamma doble.

Es relaciona amb la funció Gamma, la funció K i la constant de Glaisher-Kinkelin. Posteriorment va ser nomenada en honor del matemàtic Ernest William Barnes (1874-1953).

Formalment, la funció G-Barnes es defineix en la següent forma del producte de Weierstrass:

$G(1+z)=(2\pi {)}^{z/2}\text{exp}(-\frac{z+z^2(1+\gamma )}{2})\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left\{{(1+\frac{z}{k})}^k\text{exp}(\frac{z^2}{2k}-z)\right\}$

on $\gamma$ és la constant d'Euler-Mascheroni, exp (x)= e^x, i ∏ és el producte.

Equacions funcionals i arguments enters

La funció G-Barnes satisfà l'equació funcional

$G(z+1)=\mathrm{\Gamma }(z)G(z)$

amb normalització G (1) = 1.

L'equació funcional implica que G té els següents valors en arguments enters:

$G(n)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n=-1,-2,\dots \\ \prod _{i=0}^{n-2}i!& \text{if }n=0,1,2,\dots \end{array}$

(en particular, $G(0)=G(1)=1$) i per tant

$G(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{K(n)}$

on $\mathrm{\Gamma }(x)$ denota la funció gamma, i K denota la funció K.

L'equació funcional defineix de forma exclusiva la funció G-Barnes si és afegida la condició de convexitat: $(\mathrm{\forall }x\ge 1)\frac{{\mathrm{d}}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\log (G(x))\ge 0$.

Fórmula de reflexió 1.0

L'equació de diferència per a la funció G-Barnes, en conjunció amb l'equació funcional per a la funció gamma, pot ser utilitzada per a obtenir la següent fórmula de reflexió per a la funció de G-Barnes (originalment proporcionada per Hermann Kinkelin):

$\log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\underset{0}{\overset{z}{\int }}\pi x\cot \pi xdx.$

La integral logaritme-tangent del costat dret pot ser avaluada per parts en termes de la funció de Clausen (d'ordre 2), com es mostra a continuació:

$2\pi \log \left(\frac{G(1-z)}{G(1+z)}\right)=2\pi z\log \left(\frac{\sin \pi z}{\pi }\right)+{\text{Cl}}_2(2\pi z)$

La prova d'aquest resultat depèn de la següent avaluació de la integral cotangent: la introducció de la notació $Lc(z)$ per a la integral logaritme-tangent, i utilitzant $(d/dx)\log (\sin \pi x)=\pi \cot \pi x$, s'obté la següent integració per parts:

$\begin{array}{cc}Lc(z)& =\underset{0}{\overset{z}{\int }}\pi x\cot \pi xdx\\ & =z\log (\sin \pi z)-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log (\sin \pi x)dx\\ & =z\log (\sin \pi z)-\underset{0}{\overset{z}{\int }}[\log (2\sin \pi x)-\log 2]dx\\ & =z\log (2\sin \pi z)-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log (2\sin \pi x)dx.\end{array}$

Substituint $y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )$ en la integral dona

$z\log (2\sin \pi z)-\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi z}{\int }}\log (2\sin \frac{y}{2})dy.$

La funció Clausen (d'ordre 2) té la representació integral

${\text{Cl}}_2(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |2\sin \frac{x}{2}|dx.$

No obstant això, dins de l'interval $0<\theta <2\pi$, el signe de valor absolut de l'integrant es pot ometre, ja que el valor de la integral de la funció «mig-sinus» és estrictament positiva i diferent de zero. Comparant aquesta definició amb el resultat anterior per l'integral logaritme-tangent, es manté clarament la següent relació:

$Lc(z)=z\log (2\sin \pi z)+\frac{1}{2\pi }{\text{Cl}}_2(2\pi z).$

Per tant, després d'una lleugera reordenació dels termes, la verificació està completa:

$2\pi \log \left(\frac{G(1-z)}{G(1+z)}\right)=2\pi z\log \left(\frac{\sin \pi z}{\pi }\right)+{\text{Cl}}_2(2\pi z).◻$

Usant la relació $G(1+z)=\mathrm{\Gamma }(z)G(z)$ i dividint la fórmula de reflexió per un factor de $2\pi$ dona la forma equivalent:

$\log \left(\frac{G(1-z)}{G(z)}\right)=z\log \left(\frac{\sin \pi z}{\pi }\right)+\log \mathrm{\Gamma }(z)+\frac{1}{2\pi }{\text{Cl}}_2(2\pi z)$

Fórmula de reflexió 2.0

Reemplaçant z per (1/2) − z'' en la fórmula de reflexió anterior dona, després d'una certa simplificació, la fórmula equivalent que es mostra a continuació (que implica als polinomis de Bernoulli):

$\log \left(\frac{G(\frac{1}{2}+z)}{G(\frac{1}{2}-z)}\right)=$

$\log \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-z)+B_1(z)\log 2\pi -\frac{1}{2}\log 2+\pi \underset{0}{\overset{z}{\int }}{B}_1(x)\tan \pi xdx$

Ampliació de la sèrie de Taylor

Pel teorema de Taylor, i tenint en compte les derivades logarítmiques de la funció G-Barnes, es pot obtenir la següent ampliació de la sèrie:

$\log G(1+z)=\frac{z}{2}\log 2\pi -\left(\frac{z+(1+\gamma )z^2}{2}\right)+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)}{k+1}{z}^{k+1}.$

Això és vàlid per a $0<z<1$. Aquí, $\zeta (x)$ és la funció zeta de Riemann:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

Exponenciant banda i banda de l'ampliació de Taylor dona:

$\begin{array}{cc}G(1+z)& =\exp [\frac{z}{2}\log 2\pi -\left(\frac{z+(1+\gamma )z^2}{2}\right)+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)}{k+1}{z}^{k+1}]\\ & =(2\pi {)}^{z/2}\exp [-\frac{z+(1+\gamma )z^2}{2}]\exp [\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)}{k+1}{z}^{k+1}].\end{array}$

Comparant això amb la forma del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes, dona la següent relació:

$\exp [\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)}{k+1}{z}^{k+1}]=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left\{{(1+\frac{z}{k})}^k\text{exp}(\frac{z^2}{2k}-z)\right\}$

Per a $|z|<1$ té la següent ampliació de Taylor:

$\ln G(1+z)=\frac{1}{2}(\ln (2\pi )-1)-(1-\gamma )\frac{z^2}{2}+\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\zeta (n-1)\frac{z^n}{n}$

Fórmula de multiplicació

Igual que la funció gamma, la funció G-Barnes també té una fórmula de multiplicació:

$G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-nz}(2\pi {)}^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G(z+\frac{i+j}{n})$

on $K(n)$ és una constant donada per:

$K(n)=e^{-(n^2-1){\zeta }^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}=(A{e}^{-\frac{1}{12}}{)}^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}.$

Aquí, ${\zeta }^{\prime }$ és la derivada de la funció zeta de Riemann, i $A$ és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Expansió asimptòtica

El logaritme de G(z + 1) té la següent expansió asimptòtica, establert per Barnes:

$\begin{array}{cc}\log G(z+1)& =\frac{1}{12}-\log A+\frac{z}{2}\log 2\pi +(\frac{z^2}{2}-\frac{1}{12})\log z\\ & -\frac{3z^2}{4}+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k+2}}{4k(k+1)z^{2k}}+O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).\end{array}$

Aquí, $B_k$ són els nombres de Bernoulli i $A$ és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Aquesta expansió és vàlida per a $z$ en qualsevol sector que no conté l'eix real negatiu amb $|z|$ gran.

Relació amb la integral del logaritme de gamma

La integral logaritme-gamma pot ser avaluada en termes de la funció G-Barnes.

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(x)dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z)$

La prova és una mica indirecta, i consisteix en considerar primer la diferència logarítmica de la funció gamma i de la funció G-Barnes:

$z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z)$

on

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left\{(1+\frac{z}{k})e^{-z/k}\right\}$

i $\gamma$ és la constant d'Euler-Mascheroni.

Prenent el logaritme de les formes del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes i de la funció gamma dona:

$z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z)=-z\log \left(\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}\right)-\log G(1+z)=$

$-z[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{\log (1+\frac{z}{k})-\frac{z}{k}\left\}\right]$

$-[\frac{z}{2}\log 2\pi -\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}-\frac{z^2\gamma }{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{k\log (1+\frac{z}{k})+\frac{z^2}{2k}-z\left\}\right]$

Una petita simplificació i una reordenació dels termes dona l'expansió de la sèrie:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{(k+z)\log (1+\frac{z}{k})-\frac{z^2}{2k}-z\}=$

$-z\log z-\frac{z}{2}\log 2\pi +\frac{z}{2}+\frac{z^2}{2}-\frac{z^2\gamma }{2}-z\log \mathrm{\Gamma }(z)+\log G(1+z)$

Finalment, prenent el logaritme de la forma del producte de Weierstrass de la funció gamma, i integrant en l'interval $[0,z]$s'obté:

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(x)dx=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \left(\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}\right)dx=$

$-(z\log z-z)-\frac{z^2\gamma }{2}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{(k+z)\log (1+\frac{z}{k})-\frac{z^2}{2k}-z\}$

Igualant les dues avaluacions es completa la demostració:

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(x)dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z).◻$

Relació amb la funció K

La funció G-Barnes està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció K.

Per als nombres naturals n, tenim

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}.$

Per a tot $z\in ℂ.$ tenim

$K(z)\cdot G(z)=\exp \{(z-1)\cdot \log [\mathrm{\Gamma }(z)]\},$

Valors particulars

Per a $G(x)$ tenims els següents valors particulars:

$G(1/4)=A^{-9/8}{(\mathrm{\Gamma }(1/4))}^{-3/4}{e}^{3/32-K/(4\pi )};$

$G(3/4)=A^{-9/8}{(\mathrm{\Gamma }(3/4))}^{-1/4}{e}^{3/32+K/(4\pi )};$

$G(1/2)=A^{-3/2}{\pi }^{-1/4}{e}^{1/8}{2}^{1/24};$

$G(3/2)=A^{-3/2}{\pi }^{1/4}{e}^{1/8}{2}^{1/24};$

$G(5/2)=A^{-3/2}{\pi }^{3/4}{e}^{1/8}{2}^{-23/24};$

on $K$ és la constant de Catalan, i $A$ és la constant de Glaisher-Kinkelin per la qual

$A:=e^{1/12-{\zeta }^{\prime }(-1)}\approx 1,2824262...$

Enllaços externs

• Funció G-barnes en MathWorld
• Funció G-Barnes (Funció doble gamma) en Digital Library of Mathematical Functions