Desigualtat de Turán

En matemàtiques, les desigualtats de Turán són algunes desigualtats per als polinomis de Legendre trobats per Turán (1950) (i publicats per primera vegada per Szegö (1948).

Si Plantilla:Math és el n-èsim polinomi de Legendre, les desigualtats de Turán són:

$P_n(x{)}^2>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)\text{ per a }-1<x<1.$

Hi ha moltes generalitzacions a altres polinomis, sovint anomenades desigualtats de Turán, donats per Beckenbach i Seidel (1951).

Si H_n és el n-èsim polinomi d'Hermite, les desigualtats de Turán són:

$H_n(x{)}^2-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}\frac{2^{n-i}}{i!}{H}_i(x{)}^2>0,$

Si T_n és el n-èsim polinomi de Txebixov, les desigualtats de Turán són:

$T_n(x{)}^2-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^2>0\text{ per a }-1<x<1.$

Vegeu també

• Desigualtat d'Askey-Gasper
• Teorema de Sturm