Disjunció exclusiva

Diagrama de Venn per $A\oplus B$ $\oplus$ $\iff$

Diagrama de Venn per a $A\oplus B\oplus C$ $\oplus$ $\iff$

L'operador lògic disjunció exclusiva, també anomenat o exclusiva, simbolitzat com XOR, EOR, EXOR, Plantilla:Mida o Plantilla:Mida és un tipus de disjunció lògica de dos operands que és veritat si només un operand és veritat però no ambdós.

Equivalències, simplificació, i introducció

La disjunció exclusiva $p\oplus q$ es pot expressar en termes de conjunció lògica ($\wedge$), disjunció lògica ($\vee$), i negació ($\mathrm{\neg }$) de la següent manera:

$\begin{array}{ccc}p\oplus q& =& (p\wedge \mathrm{\neg }q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge q)\end{array}$

La disjunció exclusiva $p\oplus q$ pot ser expressada de la següent manera:

$\begin{array}{ccc}p\oplus q& =& \mathrm{\neg }(p\wedge q)\wedge (p\vee q)\end{array}$

Aquesta representació del XOR pot ser útil en la construcció d'un circuit o una xarxa, ja que només té un operador $\mathrm{\neg }$ i un nombre reduït d'operadors $p\oplus q$ i $\vee$. La prova d'aquesta identitat és la següent:

$\begin{array}{ccccc}p\oplus q& =& (p\wedge \mathrm{\neg }q)& \vee & (\mathrm{\neg }p\wedge q)\\ & =& ((p\wedge \mathrm{\neg }q)\vee \mathrm{\neg }p)& \wedge & ((p\wedge \mathrm{\neg }q)\vee q)\\ & =& ((p\vee \mathrm{\neg }p)\wedge (\mathrm{\neg }q\vee \mathrm{\neg }p))& \wedge & ((p\vee q)\wedge (\mathrm{\neg }q\vee q))\\ & =& (\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)& \wedge & (p\vee q)\\ & =& \mathrm{\neg }(p\wedge q)& \wedge & (p\vee q)\end{array}$

De vegades és útil escriure $p\oplus q$ de les següents formes:

$\begin{array}{ccc}p\oplus q& =& \mathrm{\neg }((p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q))\end{array}$

Aquesta equivalència es pot establir mitjançant l'aplicació de les Lleis de De Morgan dues vegades per la quarta línia de la prova anterior.

Vegeu també

• Àlgebra booleana
• Porta lògica
• Disjunció lògica
• Conjunció lògica
• Operador a nivell de bits
• Funció booleana
• Lògica proposicional
• Modus tollendo ponens
• Lògica de primer ordre
• Valor de veritat
• Operació matemàtica
• Bit de paritat