Distribució conjunta

Plantilla:Falten referències En el camp de la probabilitat, donades dues variables aleatòries $X$ i $Y$, la distribució conjunta de $X$ i $Y$ és la distribució de probabilitat de la intersecció d'esdeveniments associats a $X$ i $Y$, és a dir, dels esdeveniments $X=x$ i $Y=y$ passant de forma simultània. En el cas de només dues variables aleatòries s'anomena una distribució bivariada, però el concepte es generalitza a qualsevol nombre de variables aleatòries.

Cas discret

Per a variables aleatòries discretes, la funció de probabilitat conjunta aquesta donada per:

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(X=x\mathrm{i}Y=y)& =\mathrm{P}(Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm{P}(X=x)\\ & =\mathrm{P}(X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm{P}(Y=y).\end{array}$

Donades aquestes probabilitats, s'ha de:

$\sum _x\sum _y\mathrm{P}(X=x\mathrm{i}Y=y)=1.$

Cas continu

De forma semblant que per a les variables aleatòries discretes, la funció de densitat de probabilitat conjunta es pot escriure com f _{X, Y} (x, y) tenint :

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)$

a on $f_{Y|X}(y|x)$ i $f_{X|Y}(x|y)$ donen la distribució condicional de $Y$ donat $X=x$ i de $X$ donat $Y=y$ respectivament, i $f_X(x)$ i $f_Y(y)$ donada la distribució marginal per X i Y respectivament.

De nou, donat que són distribucions de probabilitat:

$\underset{x}{\int }\underset{y}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dydx=1.$

Vegeu també

• xarxa bayesiana