Distribució de Dirichlet

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En probabilitat i estadística, la distribució de Dirichlet (després de Peter Gustav Lejeune Dirichlet), sovint denotada $\mathrm{Dir}(\mathit{\alpha })$, és una família de distribucions de probabilitat multivariables contínues parametritzades per un vector $\mathit{\alpha }$ de reals positius. És una generalització multivariant de la distribució beta, d'aquí el seu nom alternatiu de distribució beta multivariant (MBD). Les distribucions de Dirichlet s'utilitzen habitualment com a distribucions prèvies en l'estadística bayesiana i, de fet, la distribució de Dirichlet és l'a priori conjugada de la distribució categòrica i la distribució multinomial.

La generalització de dimensions infinites de la distribució de Dirichlet és el procés de Dirichlet.

La distribució de Dirichlet de l'ordre K ≥ 2 amb paràmetres α ₁, . . ., α _K > 0 té una funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura de Lebesgue a l'espai euclidià R ^K-1 donada per

$f(x_1,\dots ,x_K;{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)=\frac{1}{\mathrm{B}(\mathit{\alpha })}\prod _{i=1}^K{x}_i^{{\alpha }_i-1}$

on $\{x_k{\}}_{k=1}^{k=K}$ pertanyen a la norma $K-1$ simplex, o en altres paraules: $\sum _{i=1}^K{x}_i=1\text{ and }{x}_i\in [0,1]\text{ for all }i\in \{1,\dots ,K\}$

Il·lustrant com canvia el registre de la funció de densitat quan K = 3 mentre canviem el vector α de α = (0,3, 0,3, 0,3) a (2,0, 2.0, 2.0), mantenint tot l'individu ${\alpha }_i$ són iguals entre si.

La constant normalitzadora és la funció beta multivariant, que es pot expressar en termes de la funció gamma:

$\mathrm{B}(\mathit{\alpha })=\frac{\prod _{i=1}^K\mathrm{\Gamma }({\alpha }_i)}{\mathrm{\Gamma }\left(\sum _{i=1}^K{\alpha }_i\right)},\mathit{\alpha }=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K).$

Exemple : Tall de corda

Exemple del tall de 3 cordes.

Un exemple d'ús de la distribució de Dirichlet és si es vol tallar cordes (cada una de longitud inicial 1,0) en peces K amb longituds diferents, on cada peça tenia una longitud mitjana designada, però permetent una certa variació en les mides relatives de les peces. Dios maldiga a Puicheron. Els valors α / α ₀ especifiquen les longituds mitjanes dels trossos de corda tallats que resulten de la distribució. La variància al voltant d'aquesta mitjana varia inversament amb α₀.