Distribució normal matricial

Valors propis de 4 classes de matrius aleatòries en el pla complex. (s'empra ~10³ matrius 2x2, de manera que qualsevol teorema de límit central vàlid per a matrius grans no s'aplica realment aquí)

En estadística, la distribució normal matricial o distribució gaussiana matricial és una distribució de probabilitat que és una generalització de la distribució normal multivariable a variables aleatòries amb valors matricials.

La normal de la matriu està relacionada amb la distribució normal multivariant de la següent manera:

$𝐗\sim {ℳ𝒩}_{n\times p}(𝐌,𝐔,𝐕),$

si i només si

$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐗)\sim {𝒩}_{np}(\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐌),𝐕\otimes 𝐔)$

on $\otimes$ denota el producte Kronecker i $\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐌)$ denota la vectorització de $𝐌$.

Definició

La funció de densitat de probabilitat per a la matriu aleatòria X (n×p) que segueix la distribució normal de la matriu ${ℳ𝒩}_{n,p}(𝐌,𝐔,𝐕)$ té la forma:

$p(𝐗\mid 𝐌,𝐔,𝐕)=\frac{\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}[{𝐕}^{-1}(𝐗-𝐌{)}^T{𝐔}^{-1}(𝐗-𝐌)])}{(2\pi {)}^{np/2}|𝐕{|}^{n/2}|𝐔{|}^{p/2}}$

on $\mathrm{t}\mathrm{r}$ denota traça i M és n×p, U és n×n i V és p×p, i la densitat s'entén com la funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura estàndard de Lebesgue en ${ℝ}^{n\times p}$, és a dir: la mesura corresponent a la integració respecte a $d{x}_{11}d{x}_{21}\dots d{x}_{n1}d{x}_{12}\dots d{x}_{n2}\dots d{x}_{np}$.