Expansió trinomial

En matemàtiques, una expansió trinomial és l'expansió d'una potència d'una suma de tres termes en monomis. L'expansió ve donada per

$(a+b+c{)}^n=\sum _{\stackrel{i,j,k}{i+j+k=n}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i,j,k})a^i{b}^j{c}^k,$

on Plantilla:Math és un enter no negatiu i es suma la suma de totes les combinacions d'índexs no negatius Plantilla:Math i Plantilla:Math tals que Plantilla:Math. Els coeficients trinomials són donats per

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i,j,k})=\frac{n!}{i!j!k!}.$

Aquesta fórmula és un cas especial de la fórmula multinomial per a Plantilla:Math. Els coeficients es poden definir amb una generalització del triangle de Pascal a tres dimensions, anomenada piràmide de Pascal o tetraedre de Pascal.

Propietats

El nombre de termes d'un trinomi expandit és el nombre triangular

$t_{n+1}=\frac{(n+2)(n+1)}{2},$

on Plantilla:Math és l'exponent al qual s'eleva el trinomi.

Exemple

Un exemple d 'una expansió trinomial amb $n=2$ és :

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

Vegeu també

• Expansió binomial
• Piràmide de Pascal
• Coeficient multinomial
• Triangle Trinomial