Funció gamma el·líptica

En matemàtiques, la funció gamma el·líptica és una generalització de la funció q-gamma, la qual és en si mateixa un q-anàleg de la funció gamma ordinària.

Està íntimament relacionada amb la funció estudiada per Plantilla:Harvtxt, i pot ser expressada en termes de la funció gamma triple.

La seva representació és la següent:

$\mathrm{\Gamma }(z;p,q)=\prod _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-p^{m+1}{q}^{n+1}/z}{1-p^m{q}^{n}z}.$

Aquesta obeeix diverses identitats:

$\mathrm{\Gamma }(z;p,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(pq/z;p,q)}$

$\mathrm{\Gamma }(pz;p,q)=\theta (z;q)\mathrm{\Gamma }(z;p,q)$

$\mathrm{\Gamma }(qz;p,q)=\theta (z;p)\mathrm{\Gamma }(z;p,q),$ on $\theta$ és la funció q-theta.

Quan $p=0$, es redueix al símbol q-Pochhammer infinit:

$\mathrm{\Gamma }(z;0,q)=\frac{1}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}.$

Fórmula de multiplicació

Definim

$\tilde{\mathrm{\Gamma }}(z;p,q):=\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(p;p{)}_{\mathrm{\infty }}}(\theta (q;p){)}^{1-z}\prod _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-p^{m+1}{q}^{n+1-z}}{1-p^m{q}^{n+z}}.$

A continuació, s'hi afegeix la següent fórmula $r=q^n$ (Plantilla:Harvtxt).

$\tilde{\mathrm{\Gamma }}(nz;p,q)\tilde{\mathrm{\Gamma }}(1/n;p,r)\tilde{\mathrm{\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots \tilde{\mathrm{\Gamma }}((n-1)/n;p,r)={\left(\frac{\theta (r;p)}{\theta (q;p)}\right)}^{nz-1}\tilde{\mathrm{\Gamma }}(z;p,r)\tilde{\mathrm{\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots \tilde{\mathrm{\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).$

Referències

• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref