Funció zeta d'Airy

En matemàtiques, la funció zeta d'Airy, estudiada per Crandall (1996), és una funció anàloga a la funció zeta de Riemann i relacionada amb els zeros de la funció d'Airy.

Definició

Funcions d'Airy
$Ai(x)$ (vermell) i $Bi(x)$ (blau)

La funció d'Airy

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{1}{3}{t}^3+xt)dt,$

és positiva per a $x$ positius, però oscil·la per a valors negatius de $x$; la seqüència de valors de $x$ per als quals $Ai(x)=0$, classificada pels seus valors absoluts, són anomenats els zeros Airy i es denoten a₁, a₂, ...

La funció zeta d'Airy és la funció definida a partir d'aquesta seqüència de zeros per la sèrie

${\zeta }_{\mathrm{A}\mathrm{i}}(s)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|a_i{|}^s}.$

Aquesta sèrie convergeix quan la part real de $s$ és més gran que 3/2, i es pot estendre per continuació analítica a altres valors de $s$.

Avaluació en nombres enters

Igual que la funció zeta de Riemann, on el valor $\zeta (2)={\pi }^2/6$ és la solució al problema de Basilea, la funció zeta d'Airy es pot avaluar exactament en $s=2$:

${\zeta }_{\mathrm{A}\mathrm{i}}(2)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_i^2}=\frac{3^{5/3}{\mathrm{\Gamma }}^4(\frac{2}{3})}{4{\pi }^2},$

on Γ és la funció gamma, una variant contínua del factorial. També són possibles avaluacions similars per als valors sencers més grans de $s$.

Es conjectura que la prolongació analítica de la funció zeta d'Airy avaluat en 1 és

${\zeta }_{\mathrm{A}\mathrm{i}}(1)=\frac{-3^{-2/3}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{4}{3})}.$

Referències

• Plantilla:Citar ref

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld