Funció gamma múltiple

Plantilla:Confusió En matemàtiques, la funció gamma múltiple (${\mathrm{\Gamma }}_N$) és una generalització de la funció gamma d'Euler i la funció G-Barnes.

La funció gamma doble va ser estudiada per Plantilla:Harvtxt. Al final d'aquest document s'esmenta l'existència de múltiples funcions gamma, que van ser generalitzades i estudiades en Plantilla:Harvtxt.

La funció gamma doble (${\mathrm{\Gamma }}_2$) està estretament relacionada amb la funció q-gamma, i la funció gamma triple (${\mathrm{\Gamma }}_3$) està relacionada amb la funció gamma el·líptica.

Definició

Per a $\mathrm{\Re }{a}_i>0$:

${\mathrm{\Gamma }}_N(w|a_1,...,a_N)=\exp (\frac{\partial }{\partial s}{\zeta }_N(s,w|a_1,...,a_N){|}_{s=0})$

on ${\zeta }_N$ és la funció zeta de Barnes (això difereix per una constant de la definició original de Barnes).

Propietats

Considerada com una funció meromorfa de $w$, ${\mathrm{\Gamma }}_N(w|a_1,...,a_N)$ que no té zeros i que té els pols exactament en els valors de $w=-\sum _{i=1}^N{n}_i{a}_i$ per a enters no negatius $n_i$,..., que són pols simples llevat que alguns d'aquests números coincideixen.

Fins a la multiplicació per l'exponencial d'un polinomi, és l'única funció meromorfa d'ordre finit amb aquests zeros i pols.

• ${\mathrm{\Gamma }}_0(w|)=\frac{1}{w},$
• ${\mathrm{\Gamma }}_1(w|a)=\frac{a^{a^{-1}w-\frac{1}{2}}}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{\Gamma }\left(a^{-1}w\right)$
• ${\mathrm{\Gamma }}_N(w|a_1,...,a_N)={\mathrm{\Gamma }}_{N-1}(w|a_1,...,a_{N-1}){\mathrm{\Gamma }}_N(w+a_N|a_1,...,a_N).$

La funció de doble gamma i la teoria de camp de conformitat

Per a $\mathrm{\Re }b>0$ i $Q=b+b^{-1}$, la funció

${\mathrm{\Gamma }}_b(w)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}_2(w|b,b^{-1})}{{\mathrm{\Gamma }}_2(\frac{Q}{2}|b,b^{-1})}$

és invariable a sota $b\to b^{-1}$, i obeeix les relacions

${\mathrm{\Gamma }}_b(w+b)=\sqrt{2\pi }\frac{b^{bw-\frac{1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(bw)}{\mathrm{\Gamma }}_b(w),{\mathrm{\Gamma }}_b(w+b^{-1})=\sqrt{2\pi }\frac{b^{-b^{-1}w+\frac{1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(b^{-1}w)}{\mathrm{\Gamma }}_b(w).$

Per a $\mathrm{\Re }w>0$, té la representació integral

$\log {\mathrm{\Gamma }}_b(w)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t}[\frac{e^{-wt}-e^{-\frac{Q}{2}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}-\frac{{(\frac{Q}{2}-w)}^2}{2}{e}^{-t}-\frac{\frac{Q}{2}-w}{t}].$

Per a la funció ${\mathrm{\Gamma }}_b(w)$, és possible definir les dues funcions

$S_b(w)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}_b(w)}{{\mathrm{\Gamma }}_b(Q-w)},{\mathrm{{\rm Y}}}_b(w)=\frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}_b(w){\mathrm{\Gamma }}_b(Q-w)}.$

Aquestes funcions obeeixen a les relacions

$S_b(w+b)=2\sin (\pi bw)S_b(w),{\mathrm{{\rm Y}}}_b(w+b)=\frac{\mathrm{\Gamma }(bw)}{\mathrm{\Gamma }(1-bw)}{b}^{1-2bw}{\mathrm{{\rm Y}}}_b(w)$

a més de les relacions que s'obtenen per $b\to b^{-1}$.

Per a $0<\mathrm{\Re }w<\mathrm{\Re }Q$ tenen representacions integrals

$\log S_b(w)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t}[\frac{\sinh (\frac{Q}{2}-w)t}{2\sinh \left(\frac{1}{2}bt\right)\sinh \left(\frac{1}{2}{b}^{-1}t\right)}-\frac{Q-2w}{t}],$

$\log {\mathrm{{\rm Y}}}_b(w)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t}[{(\frac{Q}{2}-w)}^2{e}^{-t}-\frac{{\sinh }^2\frac{1}{2}(\frac{Q}{2}-w)t}{\sinh \left(\frac{1}{2}bt\right)\sinh \left(\frac{1}{2}{b}^{-1}t\right)}].$

Les funcions ${\mathrm{\Gamma }}_b,S_b$ i ${\mathrm{{\rm Y}}}_b$ apareixen en funcions de correlació de la teoria de camp de conformitat bidimensional, amb el paràmetre $b$ estant relacionat amb la càrrega central de l'àlgebra de Virasoro subjacent. En particular, la funció de tres punts de la teoria de Liouville està escrita en funció de la funció ${\mathrm{{\rm Y}}}_b$.

Referències

• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref