Grup clàssic

En matemàtiques, els grups clàssics es defineixen com els grups lineals especials sobre els reals Plantilla:Math, els complexos Plantilla:Math i els quaternions Plantilla:Math, juntament amb automorfismes de grups especials de formes bilineals simètriques o antisimètriques i de formes sesquilineals hermítiques o antihermítiques definides sobre espais vectorials de dimensió finita reals, complexos o quaterniònics.Plantilla:Sfn D'aquests, els grups de Lie clàssics complexos són quatre famílies infinites de grups de Lie que, juntament amb els grups excepcionals, formen la totalitat dels grups de Lie simples. Els grups clàssics compactes són formes reals compactes dels grups clàssics complexos. Els anàlegs finits dels grups clàssics són els grups de tipus Lie clàssics. El terme grup clàssic fou creat per Hermann Weyl, a la seva monografia de 1939 The Classical Groups.Plantilla:Sfn

Els grups clàssics

Els grups clàssics són exactament els grups lineals generals sobre Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math juntament amb els grups d'automorfismes tractats més endavant.Plantilla:Sfn A continuació es detallen els grups clàssics amb determinant 1:

Nom	Grup	Cos	Forma	Subgrup compacte maximal	Àlgebra de Lie	Sistema d'arrels
Lineal especial (real)	SL(n, R)	R	-	SO(n)
Lineal especial complex	SL(n, C)	C	-	SU(n)	Complexa	[[Sistema d'arrels#Construcció explícita dels sistemes d'arrels irreductibles|Plantilla:Math]]
Lineal especial quaterniònic	SL(n, H) = SU∗(2n)	H	-	Sp(n)
Ortogonal especial (indefinit)	SO(p, q)	R	Simètrica	S(O(p) × O(q))
Ortogonal especial complex	SO(n, C)	C	Simètrica	SO(n)	Complexa	[[Sistema d'arrels#Construcció explícita dels sistemes d'arrels irreductibles|Plantilla:Nowrap Plantilla:Nowrap]]
Simplèctic	Sp(m, R)	R	Antisimètrica	U(m)
Simplèctic complex	Sp(m, C)	C	Antisimètrica	Sp(m)	Complexa	[[Sistema d'arrels#Construcció explícita dels sistemes d'arrels irreductibles|Plantilla:Math]]
Unitari especial (indefinit)	SU(p, q)	C	Hermítica	S(U(p) × U(q))
Unitari quaterniònic (indefinit)	Sp(p, q)	H	Hermítica	Sp(p) × Sp(q)
Ortogonal quaterniònic	SO∗(2n)	H	Antihermítica	SO(2n)

Els grups clàssics complexos són Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math. Un grup és complex si la seva àlgebra de Lie és complexa. El terme grups clàssics reals es refereix a tots els grups clàssics, ja que tota àlgebra de Lie és una àlgebra real. Els grups clàssics compactes són les formes reals compactes dels grups clàssics complexos. Aquests són, al seu torn, Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math. Una caracterització de la forma real compacta és en termes de l'àlgebra de Lie $𝔤$. Si $𝔤=𝔲+i𝔲$, la complexificació de $𝔲$, llavors si el grup connex Plantilla:Math generat per $\exp (X):X\in 𝔲$ és un conjunt compacte, Plantilla:Math és una forma real compacta.Plantilla:Sfn

Els grups clàssics es poden caracteritzar d'una altra manera utilitzant formes reals. Els grups clàssics (aquí, amb la condició addicional de tenir determinant igual a 1, però això no és necessari) són: Plantilla:Citació Per exemple, Plantilla:Math és una forma real de Plantilla:Math, Plantilla:Math és una forma real de Plantilla:Math, i Plantilla:Math és una forma real de Plantilla:Math. Sense la condició que el determinant sigui 1, cal reemplaçar a la caracterització els grups lineals especials pels corresponents grups lineals generals. Els grups algebraics en qüestió són grups de Lie, però cal parlar d'"algebraics" per tenir la noció correcta de "forma real".

Formes bilineals i sesquilineals

Plantilla:Article principal Els grups clàssics es defineixen en termes de formes definides sobre Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math, on Plantilla:Math i Plantilla:Math són els cossos dels nombres reals i complexos. Els quaternions, Plantilla:Math, no formen un cos perquè la multiplicació no és commutativa; formen un anell de divisió o cos no commutatiu. No obstant això, encara és possible definir grups quaterniònics de matrius. Per aquest motiu, es pot definir un espai vectorial Plantilla:Math sobre Plantilla:Math o Plantilla:Math, així com sobre Plantilla:Math. En el cas de Plantilla:Math, Plantilla:Math és un espai vectorial per la dreta, per tal de fer possible la representació de l'acció de grup des de lPlantilla:'esquerra, de la mateixa manera que per Plantilla:Math i Plantilla:Math.Plantilla:Sfn

Una forma Plantilla:Math sobre un espai vectorial per la dreta de dimensió finita sobre Plantilla:Math, o Plantilla:Math és bilineal si

$\phi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \phi (x,y)\beta ,\mathrm{\forall }x,y\in V,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in F$.

Hom diu que és sesquilineal si

$\phi (x\alpha ,y\beta )=\overline{\alpha }\phi (x,y)\beta ,\mathrm{\forall }x,y\in V,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in F$.

Un automorfisme de Plantilla:Math és una aplicació Plantilla:Math en el conjunt dels operadors lineals sobre Plantilla:Math tal que

Plantilla:NumBlk

El conjunt de tots els automorfismes de Plantilla:Math forma un grup, anomenat grup d'automorfismes de Plantilla:Math, i denotat per Plantilla:Math. Això porta a una definició preliminar d'un grup clàssic: Plantilla:Definició Aquesta definició té alguns problemes perquè posseeix una redundància innecessària: en el cas de Plantilla:Math, bilineal és equivalent a sesquilineal; en el cas de Plantilla:Math, no existeixen formes bilineals tret de la forma nul·la.Plantilla:Sfn

Formes simètriques, antisimètriques, hermítiques i antihermítiques

Una forma és simètrica si

$\phi (x,y)=\phi (y,x)$.

És antisimètrica si

$\phi (x,y)=-\phi (y,x)$.

És hermítica si

$\phi (x,y)=\overline{\phi (y,x)}$.

Finalment, és antihermítica si

$\phi (x,y)=-\overline{\phi (y,x)}$.

Una forma bilineal Plantilla:Math es pot descompondre unívocament com a suma d'una forma simètrica i una d'antisimètrica. Una transformació que preservi Plantilla:Math preserva ambdues parts de manera separada. Per tant, es poden estudiar per separat els grups que preserven les formes simètriques i les antisimètriques. El mateix és cert, mutatis mutandis, per a formes hermítiques i antihermítiques. Per aquest motiu, i per qüestions de classificació, només considerarem formes purament simètriques, antisimètriques, hermítiques o antihermítiques. Les formes normals de les formes corresponen a eleccions adequades de bases. Aquestes són bases que donen les següents formes normals en coordenades:

Forma bilineal simètrica en base (pseudo-) ortonormal:	$\phi (x,y)=\pm {\xi }_1{\eta }_1\pm {\xi }_2{\eta }_2\pm \cdots \pm {\xi }_n{\eta }_n,(𝐑)$
Forma bilineal simètrica en base ortonormal:	$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2+\cdots +{\xi }_n{\eta }_n,(𝐂)$
Forma bilineal antisimètrica en base simplèctica:	$\begin{array}{cc}\phi (x,y)& ={\xi }_1{\eta }_{m+1}+{\xi }_2{\eta }_{m+2}+\cdots +{\xi }_m{\eta }_{2m=n}\\ & -{\xi }_{m+1}{\eta }_1-{\xi }_{m+2}{\eta }_2-\cdots -{\xi }_{2m=n}{\eta }_m,(𝐑,𝐂)\end{array}$
Forma sesquilineal hermítica:	$\phi (x,y)=\pm \overline{{\xi }_1}{\eta }_1\pm \overline{{\xi }_2}{\eta }_2\pm \cdots \pm \overline{{\xi }_n}{\eta }_n,(𝐂,𝐇)$
Forma sesquilineal antihermítica:	$\phi (x,y)=\overline{{\xi }_1}𝐣{\eta }_1+\overline{{\xi }_2}𝐣{\eta }_2+\cdots +\overline{{\xi }_n}𝐣{\eta }_n,(𝐇)$

El factor Plantilla:Math de la forma antihermítica és el tercer element de la base Plantilla:Math de Plantilla:Math. A Plantilla:Harvtxt o Plantilla:Harvtxt es pot trobar una demostració de l'existència d'aquestes bases, de la Llei d'inèrcia de Sylvester, de la independència del nombre de signes positius i negatius, de Plantilla:Math i Plantilla:Math, en les formes simètriquesni hermítiques, així com de la presència o absència dels cossos en cada expressió. Hom anomena signatura de la forma al parell Plantilla:Math o de vegades a Plantilla:Math.

Explicació de l'aparició dels cossos Plantilla:Math: No existeixen formes bilineals no trivials sobre Plantilla:Math. En el cas bilineal simètric, només tenen signatura les formes sobre Plantilla:Math. En altres paraules, una forma complexa bilineal amb "signatura" Plantilla:Math es pot reduir, mitjançant un canvi de base, a una forma on tots els signes són "Plantilla:Math" en l'expressió anterior, mentre que això és impossibke en el cas real, on Plantilla:Math és independent de la base escollida. No obstant això, les formes hermítiques tenen una signatura independent de la base tant en el cas complex com en el cas quaterniònic (el cas real es redueix al cas simètric). Una forma antihermítica sobre un espai vectorial complex pren forma hermítica per multiplicació per Plantilla:Mvar, de tal manera que, en aquest cas, només interessa considerar Plantilla:Math.

Grups d'automorfismes

Hermann Weyl, autor de The Classical Groups. Weyl va fer contribucions substancials a la teoria de la representació dels grups clàssics.

La primera secció presenta l'entorn general de treball. Les altres seccions tracten els diferents casos que sorgeixen com a grups d'automorfismes de formes bilineals i sesquilineals en espais vectorials de dimensió finita sobre Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math.

Aut(φ) – el grup d'automorfismes

Suposem que Plantilla:Math és una forma no degenerada en un espai vectorial de dimensió finita Plantilla:Math sobre Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math. El grup d'automorfismes es defineix, basant-se en la condició (Plantilla:EquationNote), com

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\phi )=\{A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(V):\phi (Au,Av)=\phi (x,y),\mathrm{\forall }x,y\in V\}$.

Tot Plantilla:Math té un adjunt Plantilla:Math respecte a Plantilla:Math definit per

Plantilla:NumBlk

Emprant aquesta definició a la condició (Plantilla:EquationNote), hom pot veure que el grup d'automorfismes es pot expressar com

Plantilla:NumBlk

Fixem una base de Plantilla:Math. En termes d'aquesta base, escrivim

$\phi (x,y)=\sum {\xi }_i{\phi }_{ij}{\eta }_j$

on Plantilla:Math són les components de Plantilla:Math. Aquesta expressió és convenient per a formes bilineals (les formes sesquilineals tenen expressions similars i es tracten més endavant). En notació matricial, tenim

$\phi (x,y)=x^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }y$

i

Plantilla:NumBlk

de (Plantilla:EquationNote) on Plantilla:Math és la matriu Plantilla:Math. La condició de no ser degenerada significa que Plantilla:Math és invertible i, per tant, sempre existeix l'adjunt. Amb aquesta observació, podem escriure

$\mathrm{Aut}(\phi )=\{A\in \mathrm{GL}(V):{\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }A=1\}$.

L'àlgebra de Lie $𝔞𝔲𝔱(\phi )$ dels grups d'automorfismes es pot escriure immediatament. De manera abstracta, $X\in 𝔞𝔲𝔱(\phi )$ si i només si

$(e^{tX}{)}^{\phi }{e}^{tX}=1$

per a tot Plantilla:Math, corresponent a la condició de (Plantilla:EquationNote) sota l'aplicació exponencial d'àlgebres de Lie, de tal manera que

$𝔞𝔲𝔱(\phi )=\{X\in M_n(V):X^{\phi }=-X\}$,

o en una base

Plantilla:NumBlk

vista com a expansió en sèrie de potències de l'aplicació exponencial i la linealitat de les operacions. Recíprocament, suposem que $X\in 𝔞𝔲𝔱(\phi )$. Llavors, emprant el resultat anterior, Plantilla:Math. Per tant, l'àlgebra de Lie es pot caracteritzar sense referència a una base, o l'adjunt, com

$𝔞𝔲𝔱(\phi )=\{X\in M_n(V):\phi (Xx,y)=-\phi (x,Xy),\mathrm{\forall }x,y\in V\}$.

A continuació es proporcionen les formes normals de Plantilla:Math per a cada grup clàssic. A partir d'aquesta forma normal, hom pot determinar directament la matriu Plantilla:Math. En conseqüència, les expressions (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote) proporcionen expressions per a l'adjunt i per a les àlgebres de Lie. Això es demostra més endavant en la majoria de casos no trivials.

Cas bilineal

Quan la forma és simètrica, hom diu que Plantilla:Math és Plantilla:Math. Quan és antisimètrica, hom diu que Plantilla:Math és Plantilla:Math. Això aplica tant al cas real com al cas complex. En el cas quaterniònic, Plantilla:Math és nul, ja que no existeixen formes bilineals no nul·les en els espais vectorials quaterniònics.Plantilla:Sfn

Cas real

El cas real se subdivideix en dos casos: les formes simètriques i les formes antisimètriques, que cal tractar-les dd manera separada.

O(p, q) i O(n) – els grups ortogonals

Plantilla:Article principal Si Plantilla:Math és simètrica i l'espai vectorial és real, es pot escollir una base de manera que

$\phi (x,y)=\pm {\xi }_1{\eta }_1\pm {\xi }_2{\eta }_2\cdots \pm {\xi }_n{\eta }_n$.

El nombre de signes positius i negatius és independent de la base escollida.Plantilla:Sfn En el cas Plantilla:Math hom pot escriure Plantilla:Math, on Plantilla:Math és el nombre de signes positius i Plantilla:Math és el nombre de signes negatius, amb Plantilla:Math. Si Plantilla:Math, hom denota Plantilla:Math. En aquest cas, la matriu Plantilla:Math és

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right)\equiv I_{p,q}$

reordenant, si cal, els elements de la base. Llavors l'operació adjunt (Plantilla:EquationNote) esdevé

$A^{\phi }=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& \cdots \\ \cdots & A_{nn}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right)$,

la qual es redueix a la transposada habitual quan Plantilla:Math o Plantilla:Math is 0. Hom pot trobar l'àlgebra de Lie utilitzant l'equació (Plantilla:EquationNote) (a continuació es detalla el cas de Plantilla:Math),

$𝔬(p,q)=\{\left(\begin{array}{cc}{X}_{p\times p}& Y_{p\times q}\\ Y^{\mathrm{T}}& W_{q\times q}\end{array}\right)|X^{\mathrm{T}}=-X,W^{\mathrm{T}}=-W\}$,

i el grup d'acord amb (Plantilla:EquationNote) ve donat per

$\mathrm{O}(p,q)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)|I_{p,q}^{-1}{g}^{\mathrm{T}}{I}_{p,q}g=I\}$.

Els grups Plantilla:Math i Plantilla:Math són isomorfs per l'aplicació

$\begin{array}{ccc}\mathrm{O}(p,q)& \to & \mathrm{O}(q,p)\\ g& \mapsto & \sigma g{\sigma }^{-1}\end{array}$

on $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0\\ 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$. Per exemple, l'àlgebra de Lie del grup de Lorentz es pot escriure com

$𝔬(3,1)=⟨\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)⟩$.

Naturalment, és possible una reordenació de tal manera que el bloc Plantilla:Math sigui el superior esquerre (o qualsevol altre bloc). Aquí, la "component de temps" apareix com a quarta coordenada en una interpretació física, i no com a primera, com podria ser més comú.

Sp(m, R) – el grup simplèctic real

Plantilla:Article principal Si Plantilla:Math és antisimètrica i l'espai vectorial és real, existeix una base on

$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_{m+1}+{\xi }_2{\eta }_{m+2}\cdots +{\xi }_m{\eta }_{2m=n}-{\xi }_{m+1}{\eta }_1-{\xi }_{m+2}{\eta }_2\cdots -{\xi }_{2m=n}{\eta }_m$,

amb Plantilla:Math. Per Plantilla:Math hom escriu Plantilla:Math En el cas Plantilla:Math hom escriu Plantilla:Math o Plantilla:Math. A partir de la forma normal, hom pot trobar

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{0}_m& I_m\\ -I_m& 0_m\end{array}\right)=J_m$.

Si escrivim

$V=\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right)$,

on Plantilla:Math són matrius de dimensió Plantilla:Math, i es considera (Plantilla:EquationNote),

$\left(\begin{array}{cc}{0}_m& -I_m\\ I_m& 0_m\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{cc}{0}_m& I_m\\ -I_m& 0_m\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right)$

hom troba l'àlgebra de Lie de Plantilla:Math,

$𝔰𝔭(m,ℝ)=\{X\in M_n(ℝ):J_{m}X+X^{\mathrm{T}}{J}_m=0\}=\{\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{\mathrm{T}}\end{array}\right)|Y^{\mathrm{T}}=Y,Z^{\mathrm{T}}=Z\}$,

i el grup ve donat per

$\mathrm{S}\mathrm{p}(m,ℝ)=\{g\in M_n(ℝ)|g^{\mathrm{T}}{J}_{m}g=J_m\}$.

Cas complex

Anàlogament al cas real, cal distingir dos subcasos: el cas simètric i el cas antisimètric; cadascun proporciona una família de grups clàssics.

O(n, C) – el grup ortogonal complex

Si Plantilla:Math és simètrica i l'espai vectorial és complex, hom pot seleccionar una base on

$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2\cdots +{\xi }_n{\eta }_n$

i tots els signes són positius. En el cas Plantilla:Math, hom diu que el grup d'automorfismes és Plantilla:Math. L'àlgebra de Lie és un cas especial de $𝔬(p,q)$:

$𝔬(n,ℂ)=𝔰𝔬(n,ℂ)=\{X|X^{\mathrm{T}}=-X\}$,

i el grup ve donat per

$\mathrm{O}(n,ℂ)=\{g|g^{\mathrm{T}}g=I_n\}$.

En termes de classificació d'àlgebres de Lie simples, cal considerar dos casos per $𝔰𝔬(n)$: si Plantilla:Math és senar, el sistema d'arrels és Plantilla:Math; si Plantilla:Math és parell, el sistema d'arrels és Plantilla:Math.

Sp(m, C) – el grup simplèctic complex

Plantilla:Article principal Per a Plantilla:Math antisimètrica i un espai vectorial complex, és certa la mateixa fórmula

$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_{m+1}+{\xi }_2{\eta }_{m+2}\cdots +{\xi }_m{\eta }_{2m=n}-{\xi }_{m+1}{\eta }_1-{\xi }_{m+2}{\eta }_2\cdots -{\xi }_{2m=n}{\eta }_m,$

que pel cas real. Per a Plantilla:Math hom escriu Plantilla:Math. En el cas Plantilla:Math hom escriu Plantilla:Math o Plantilla:Math. L'àlgebra de Lie és anàloga a la de $𝔰𝔭(m,ℝ)$,

$𝔰𝔭(m,ℂ)=\{X\in M_n(ℂ):J_{m}X+X^{\mathrm{T}}{J}_m=0\}=\{\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{\mathrm{T}}\end{array}\right)|Y^{\mathrm{T}}=Y,Z^{\mathrm{T}}=Z\}$,

i el grup està donat per

$\mathrm{S}\mathrm{p}(m,ℂ)=\{g\in M_n(ℂ)|g^{\mathrm{T}}{J}_{m}g=J_m\}$.

Cas sesquilineal

En el cas sesquilineal, hom estableix un punt d'estudi inicial lleugerament diferent en termes d'una base,

$\phi (x,y)=\sum {\overline{\xi }}_i{\phi }_{ij}{\eta }_j$.

Les altres expressions que queden modificades són

$\phi (x,y)=x^{*}\mathrm{\Phi }y,A^{\phi }={\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{*}\mathrm{\Phi }$,Plantilla:Sfn

$\mathrm{Aut}(\phi )=\{A\in \mathrm{GL}(V):{\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{*}\mathrm{\Phi }A=1\}$,

Plantilla:NumBlk

El cas real, clarament, no proporciona res de nou. Els casos complex i quaterniònic es tracten a continuació.

Cas complex

Des d'un punt de vista qualitatiu, el fet de considerar formes antihermítiques (llevat d'isomorfisme) no proporciona grups addicionals; la multiplicació per Plantilla:Math fa que una forma antihermítica esdevingui hermítica, i viceversa. Per tant, només cal considerar el cas hermític.

U(p, q) i U(n) – els grups unitaris

Plantilla:Article principal Una forma hermítica no degenerada admet la següent forma normal:

$\phi (x,y)=\pm \overline{{\xi }_1}{\eta }_1\pm \overline{{\xi }_2}{\eta }_2\cdots \pm \overline{{\xi }_n}{\eta }_n$.

Com en el cas bilineal, la signatura Plantilla:Math és independent de la base. El grup d'automorfismes es denota Plantilla:Math, o, en el cas de Plantilla:Math, Plantilla:Math. Si Plantilla:Math la notació esdevé Plantilla:Math. En aquest cas, Plantilla:Math pren la forma

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{1}_p& 0\\ 0& -1_q\end{array}\right)=I_{p,q}$,

i l'àlgebra de Lie ve donada per

$𝔲(p,q)=\{\left(\begin{array}{cc}{X}_{p\times p}& Z_{p\times q}\\ {\bar{Z}}^{\mathrm{T}}& Y_{q\times q}\end{array}\right)|{\bar{X}}^{\mathrm{T}}=-X,{\bar{Y}}^{\mathrm{T}}=-Y\}$.

El grup està definit com

$\mathrm{U}(p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}{g}^{*}{I}_{p,q}g=I\}$.

Cas quaterniònic

L'espai Plantilla:Math es considera com a espai vectorial per la dreta sobre Plantilla:Math. D'aquesta manera, Plantilla:Math per a un quaternió Plantilla:Math, un vector columna de quaternions Plantilla:Math i una matriu de quaternions Plantilla:Math. Si Plantilla:Math fos un espai vectorial per l'esquerra Plantilla:Math, llavors seria un requisit que la multiplicació de matrius per la dreta sobre vectors fila conservés la linealitat. Notem que això no correspon a l'operació lineal habitual d'un grup sobre un espai vectorial donada una base, que és la multiplicació per lPlantilla:'esquerra sobre vectors columna. Així, Plantilla:Math és un espai vectorial per la dreta sobre Plantilla:Math. Tot i això, cal tenir cura amb les operacions que s'hi realitzen, a causa de la naturalesa no commutativa de Plantilla:Math.

Quan hom treballa amb grups quaterniònics, és convenient representar els quaternions mitjançant matrius complexes Plantilla:Nowrap:

Si q és un quaternió, $q\in ℍ$, es pot escriure de la forma $q=a1+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$ amb $a,b,c,d\in ℝ$; hom pot prendre $\alpha ,\beta \in ℂ$ tals que $q=\alpha +j\beta$. Llavors hom pot representar q mitjançant una matriu $\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right)=Q$.Plantilla:Sfn

Amb aquesta representació, la multiplicació de quaternions esdevé una multiplicació de matrius, i la conjugació de quaternions esdevé prendre el conjugat hermític. Addicionalment, si un quaternió expressat en forma complexa Plantilla:Math (Plantilla:Math) ve donat com un vector columna Plantilla:Math, llavors la multiplicació per l'esquerra per la representació matricial d'un quaternió produeix un nou vector columna que representa el quaternió de forma adequada. Aquesta representació difereix lleugerament de la representació més comuna que es pot veure a l'article Quaternió. La convenció habitual forçaria a què la multiplicació fos per la dreta sobre un vector fila.

Com a corol·lari, la representació anterior posa de manifest que el grup de quaternions unitaris (Plantilla:Math) és isomorf a Plantilla:Math.

Les matrius quaterniòniques Plantilla:Math es poden representar, amb una extensió simple, mitjançant matrius per blocs complexes Plantilla:Math de nombres complexos.Plantilla:Sfn Si hom segueix la convenció de representar un vector columna quaterniònic Plantilla:Nowrap mitjançant un vector columna complex Plantilla:Nowrap, segons la codificació anterior, on els Plantilla:Math nombres superiors són els Plantilla:Math i els Plantilla:Math inferiors els Plantilla:Math, llavors una matriu quaterniònica Plantilla:Math esdevé una matriu complexa Plantilla:Math exactament de la forma assenyalada anteriorment, però on ara Plantilla:Math i Plantilla:Math són matrius Plantilla:Math. Formalment,

Plantilla:NumBlk

Una matriu Plantilla:Math té la forma de (Plantilla:EquationNote) si i només si Plantilla:Math. Amb aquestes identificacions,

${ℍ}^n\approx {ℂ}^{2n},M_n(ℍ)\approx \{T\in M_{2n}(ℂ)|J_{n}T=\bar{T}{J}_n,J_n=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right)\}$.

L'espai Plantilla:Math és una àlgebra real, però no és un subespai complex de Plantilla:Math. La multiplicació (per l'esquerra) per Plantilla:Math a Plantilla:Math utilitzant la multiplicació de quaternions entrada a entrada, seguida de l'aplicació a la imatge de Plantilla:Math, proporciona un resultat diferent que multiplicar entrada a entrada per Plantilla:Math directament a Plantilla:Math. Les regles de la multiplicació de quaternions donen Plantilla:Math on les noves Plantilla:Math i Plantilla:Math són dins els parèntesis.

L'acció de les matrius quaterniòniques sobre els vectors quaterniònics està ara representada per quantitats complexes, però a part d'això és el mateix que el cas de matrius i vectors "ordinaris". Així, els grups quaterniònics estan immersos dins Plantilla:Math, on Plantilla:Math és la dimensió de les matrius quaterniòniques.

El determinant d'una matriu quaterniònica en aquesta representació es defineix com el determinant complex ordinari de la matriu complexa que la representa. La naturalesa no commutativa de la multiplicació de quaternions podria fer pensar, a priori, que el determinant no està ben definit. El mecanisme d'immersió de Plantilla:Math dins Plantilla:Math no és únic, però totes aquestes immersions estan relacionades per Plantilla:Math on Plantilla:Math, la qual cosa deixa el determinant invariant.Plantilla:Sfn El nom de Plantilla:Math amb aquesta representació complexa és Plantilla:Math.

Al contrari que el cas de Plantilla:Math, tant el cas hermític com l'antihermític proporcionen grups nous per a Plantilla:Math, amb la qual cosa cal considerar aquests casos per separat.

GL(n, H) i SL(n, H)

Amb la identificació anterior,

$\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,ℂ)|Jg=\bar{g}J,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g\ne 0\}\equiv {\mathrm{U}}^{*}(2n)$.

La seva àlgebra de Lie $𝔤𝔩(n,ℍ)$ és el conjunt de totes les matrius de la imatge de l'aplicació Plantilla:Math d'abans,

$𝔤𝔩(n,ℍ)=\{\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)|X,Y\in 𝔤𝔩(n,ℂ)\}\equiv {𝔲}^{*}(2n)$.

El grup lineal especial quaterniònic ve donat per

$\mathrm{S}\mathrm{L}(n,ℍ)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g=1\}\equiv {\mathrm{S}\mathrm{U}}^{*}(2n)$,

on el determinant es pren sobre les matrius de Plantilla:Math. L'àlgebra de Lie és

$𝔰𝔩(n,ℍ)=\{\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)|\mathrm{Tr}X=0\}\equiv {𝔰𝔲}^{*}(2n)$.

Sp(p, q) – el grup unitari quaterniònic

Com en el cas complex, la forma normal és

$\phi (x,y)=\pm \overline{{\xi }_1}{\eta }_1\pm \overline{{\xi }_2}{\eta }_2\cdots \pm \overline{{\xi }_n}{\eta }_n$

i el nombre de signes positius és independent de la base. Quan Plantilla:Math amb aquesta forma, Plantilla:Math. La raó per a aquesta notació és que el grup es pot representar com un subgrup de Plantilla:Math que preserva la forma complexa-hermítica de signatura Plantilla:Math.Plantilla:Sfn Si Plantilla:Math o Plantilla:Math, el grup es denota per Plantilla:Math. De vegades se l'anomena el grup hiperunitari.

En notació de quaternions, podem escriure

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right)=I_{p,q}$

en el sentit que les matrius quaterniòniques de la forma

Plantilla:NumBlk

satisfan

${\mathrm{\Phi }}^{-1}{𝒬}^{*}\mathrm{\Phi }=-𝒬$,

vegeu la secció sobre $𝔲(p,q)$. Cal manipular amb compte les operacions de multiplicació sobre matrius quaterniòniques, però aquí només intervenen Plantilla:Math i Plantilla:Math, que commuten amb qualsevol matriu de quaternions. Apliquem ara la condició (Plantilla:EquationNote) a cada bloc,

$𝒳=\left(\begin{array}{cc}{X}_{1(p\times p)}& -{\bar{X}}_2\\ X_2& {\bar{X}}_1\end{array}\right),𝒴=\left(\begin{array}{cc}{Y}_{1(q\times q)}& -{\bar{Y}}_2\\ Y_2& {\bar{Y}}_1\end{array}\right),𝒵=\left(\begin{array}{cc}{Z}_{1(p\times q)}& -{\bar{Z}}_2\\ Z_2& {\bar{Z}}_1\end{array}\right)$,

i les relacions de (Plantilla:EquationNote) se satisfan si

$X_1^{*}=-X,Y_1^{*}=-Y$.

L'àlgebra de Lie esdevé

$𝔰𝔭(p,q)=\{\left(\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}{X}_{1(p\times p)}& -{\bar{X}}_2\\ X_2& {\bar{X}}_1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}{Z}_{1(p\times q)}& -{\bar{Z}}_2\\ Z_2& {\bar{Z}}_1\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{Z}_{1(p\times q)}& -{\bar{Z}}_2\\ Z_2& {\bar{Z}}_1\end{array}\right]}^{*}& \left[\begin{array}{cc}{Y}_{1(q\times q)}& -{\bar{Y}}_2\\ Y_2& {\bar{Y}}_1\end{array}\right]\end{array})\right|X_1^{*}=-X,Y_1^{*}=-Y\}$.

El grup ve donat per

$\begin{array}{cc}\mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)& =\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)|I_{p,q}^{-1}{g}^{*}{I}_{p,q}g=I_{p+q}\}=\\ & =\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,ℂ)|K_{p,q}^{-1}{g}^{*}{K}_{p,q}g=I_{2(p+q)},K=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(I_{p,q},I_{p,q})\}.\end{array}$

Tornant a la forma normal de Plantilla:Math per Plantilla:Math, substituïm Plantilla:Math i Plantilla:Math amb Plantilla:Math. Llavors

$\phi (w,z)=\left[\begin{array}{cc}{u}^{*}& v^{*}\end{array}\right]K_{p,q}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+j\left[\begin{array}{cc}u& -v\end{array}\right]K_{p,q}\left[\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right]={\phi }_1(w,z)+𝐣{\phi }_2(w,z),K_{p,q}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(I_{p,q},I_{p,q})$

vista com una forma Plantilla:Math-valuada sobre Plantilla:Math.Plantilla:Sfn Així, els elements de Plantilla:Math, vistos com a transformacions lineals de Plantilla:Math, preserven tant una forma hermítica amb signatura Plantilla:Math com una forma antisimètrica no degenerada. Totes dues formes prenen valors purament complexos i, a causa del prefactor Plantilla:Math de la segona forma, es conserven per separat. Això significa que

$\mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)=\mathrm{U}({ℂ}^{2n},{\phi }_1)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}({ℂ}^{2n},{\phi }_2)$

la qual cosa explica tant el nom del grup com la notació.

O^∗(2n)= O(n, H)- grup ortogonal quaterniònic

La forma normal per a una forma antihermítica ve donada per

$\phi (x,y)=\overline{{\xi }_1}𝐣{\eta }_1+\overline{{\xi }_2}𝐣{\eta }_2\cdots +\overline{{\xi }_n}𝐣{\eta }_n$,

on Plantilla:Math és el tercer quaternió base de la llista ordenada Plantilla:Math. En aquest cas, Plantilla:Math es pot interpretar, utilitzant la codificació de matrius complexes anterior, com un subgrup de Plantilla:Math que preserva una forma antihermítica complexa no degenerada de signatura Plantilla:Math.Plantilla:Sfn A partir de la forma normal, hom pot veure que, en notació quaterniònica,

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cccc}𝐣& 0& \cdots & 0\\ 0& 𝐣& \cdots & ⋮\\ ⋮& & \ddots & & \\ 0& \cdots & 0& 𝐣\end{array}\right)\equiv {\mathrm{j}}_n$

i de (Plantilla:EquationNote) se segueix que

Plantilla:NumBlk

per $V\in 𝔬(2n)$. Ara escrivim

$V=X+𝐣Y\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)$

d'acord amb la condició (Plantilla:EquationNote). Hom obté la mateixa expressió per a Plantilla:Math,

$\mathrm{\Phi }\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)\equiv J_n$.

Ara, la darrera condició de (Plantilla:EquationNote), expressada en notació complexa, es llegeix com

${\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)}^{*}=\left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)\iff X^{\mathrm{T}}=-X,\stackrel{\mathrm{T}}{\bar{Y}}=Y$.

L'àlgebra de Lie esdevé

${𝔬}^{*}(2n)=\{\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)|X^{\mathrm{T}}=-X,\stackrel{\mathrm{T}}{\bar{Y}}=Y\}$,

i el grup ve donat per

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)|{\mathrm{j}}_n^{-1}{g}^{*}{\mathrm{j}}_{n}g=I_n\}=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,ℂ)|J_n^{-1}{g}^{*}{J}_{n}g=I_{2n}\}$.

El grup Plantilla:Math es pot caracteritzar com

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\{g\in \mathrm{O}(2n,ℂ)|\theta (\bar{g})=g\}$,Plantilla:Sfn

on l'aplicació Plantilla:Math està definida com Plantilla:Math. Addicionalmemt, la forma que determina el grup es pot visualitzar com una forma Plantilla:Math-valuada sobre Plantilla:Math.Plantilla:Sfn Substituïm Plantilla:Math i Plantilla:Math en l'expressió de la forma. Llavors

$\phi (x,y)={\bar{w}}_2{I}_n{z}_1-{\bar{w}}_1{I}_n{z}_2+𝐣(w_1{I}_n{z}_1+w_2{I}_n{z}_2)=\overline{{\phi }_1(w,z)}+𝐣{\phi }_2(w,z)$.

La forma Plantilla:Math és hermítica (mentre que la primera forma del primer terme és antihermítica) de signatura Plantilla:Math. El càlcul de la signatura és evident mitjançant un canvi de base de Plantilla:Math a Plantilla:Math on Plantilla:Math són els primers i últims Plantilla:Math vectors base, respectivament. La segona forma, Plantilla:Math és simètrica i definida positiva. Per tant, a causa del factor Plantilla:Math, Plantilla:Math preserva les dues formes de manera separada, i es pot concloure que

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\mathrm{O}(2n,ℂ)\cap \mathrm{U}({ℂ}^{2n},{\phi }_1)$,

la qual cos explica la notació "O".

Grups clàssics sobre cossos generals o àlgebres

Els grups clàssics, en un àmbit algebraic més ampli, proporcionen grups de matrius particularment interessants. Quan el cos F de coeficients del grup de matrius és o bé els reals o bé els complexos, aquests grups són precisament els grups de Lie clàssics. Quan el cos base és un cos finit, llavors els grups vlàssics són els grups de tipus Lie. Aquests grups juguen un rol important en la classificació dels grups simples finits. Addicionalment, hom pot considerar grups clàssics sobre una àlgebra associativa unitària R sobre F; quan R = H (una àlgebra sobre els reals), hom en té un cas important. Per motius de generalitat, aquest article tracta de grups sobre R, on R pot ser el propi cos base F.

Considerant la teoria abstracta de grups, molts grups lineals tenen un subgrup "especial", que habitualment consisteix dels elements amb determinant 1 sobre el cos base, i la majoria tenen associats quocients "projectius", que són els quocients pel centre del grup. Per a grups ortogonals en característica 2, la nomenclatura "S" té un significat diferent.

L'adjectiu "general" aplicat al nom d'un grup acostuma a significar que es permet que el grup multipliqui algun tipus de forma per una constant, en comptes de deixar-la invariant. El subíndex n acostuma a indicar la dimensió del mòdul sobre el qual actua el grup; és un espai vectorial si R = F.

Grups lineals general i especial

El grup lineal general GL_n(R) és el grup de tots els automorfismes R-lineals de Rⁿ. Existeix un subgrup: el grup lineal especial SL_n(R), i els seus quocients: el grup lineal general projectiu PGL_n(R) = GL_n(R)/Z(GL_n(R)) i el grup lineal especial projectiu PSL_n(R) = SL_n(R)/Z(SL_n(R)). El grup lineal especial projectiu PSL_n(F) sobre un cos F és simple per n ≥ 2, excepte en el cas n = 2, i quan el cos té ordre 2 o 3.

Grups unitaris

El grup unitari U_n(R) és un grup que conserva una forma sesquilineal sobre un mòdul. Existeix un subgrup, el subgrup unitari especial SU_n(R) i els seus quocients, el grup unitari projectiu PU_n(R) = U_n(R)/Z(U_n(R)) i el grup unitari especial projectiu PSU_n(R) = SU_n(R)/Z(SU_n(R)).

Grups simplèctics

El grup simplèctic Sp_2n(R) conserva una forma antisimètrica sobre un mòdul. Té un quocient, el grup simplèctic projectiu PSp_2n(R). El grup simplèctic general GSp_2n(R) consisteix dels automorfismes d'un mòdul multiplicant una forma antisimètrica per algun escalar invertible. El grup simplèctic projectiu PSp_2n(F_q) sobre un cos finit és simple per n ≥ 1, excepte en els casos de PSp₂ sobre els cossos de 2 i 3 elements.

Grups ortogonals

El grup ortogonal O_n(R) conserva una forma quadràtica no degenerada sobre un mòdul. Existeix un subgrup, el grup ortogonal especial SO_n(R) i quocients, el grup ortogonal projectiu PO_n(R), i el grup ortogonal especial projectiu PSO_n(R). En característica 2, el determinant sempre és 1, de tal manera que s'acostuma a definir el grup ortogonal especial com el subgrup d'elements amb invariant de Dickson 1.

Existeix un grup sense nom, denotat per Ω_n(R), que consisteix dels elements del grup ortogonal que tenen norma espinorial 1, amb els corresponents subgrup i grups quocient SΩ_n(R), PΩ_n(R) i PSΩ_n(R) (en el cas de formes quadràtiques definides positives sobre els reals, el grup Ω resulta ser exactament el grup ortogonal, però en general és més petit). El grup ortogonal general GO_n(R) consisteix dels automorfismes d'un mòdul que multipliquen una forma quadràtica per algun escalar invertible.

Contrast amb els grups de Lie excepcionals

En contrast amb els grups de Lie clàssics, existeixen els grups de Lie excepcionals, G₂, F₄, E₆, E₇, E₈, que comparteixen les seves propietats exactes, però no la seva familiaritat. Aquests grups van ser descoberts per Wilhelm Killing i Élie Cartan al voltant de 1890 en el procés de classificació de les àlgebres de Lie simples sobre els nombres complexos.

Aplicacions

Els grups clàssics formen la part més útil de l'estudi dels grups de Lie lineals.Plantilla:Sfn La majoria dels tipus de grups clàssics tenen aplicació en la física clàssica i moderna. A continuació es presenten alguns exemples: el grup de rotació Plantilla:Math és una simetria de l'espai euclidià i de totes les lleis fonamentals de la física; el grup de Lorentz Plantilla:Math és un grup de simetria de l'espaitemps de la relativitat especial. El grup unitari especial Plantilla:Math és el grup de simetria de la cromodinàmica quàntica, i el grup simplèctic Plantilla:Math té aplicacions en la mecànica hamiltoniana i en les seves versions de la mecànica quàntica.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre