Llista de sèries newtonianes

En matemàtiques, una sèrie newtoniana, anomenada així en honor de Isaac Newton, és una suma en una successió $a_n$escrit en la forma

$f(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n})a_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-s{)}_n}{n!}{a}_n$

on

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n})$

és el coeficient binomial i $(s{)}_n$ és el factorial ascendent. Les sèries newtonianes sovint apareixen en relacions de la forma vista en el càlcul llindar.

Llista de sèries newtonianes

El teorema del binomi generalitzat dona

$(1+z{)}^s=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n})z^n=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{1})z+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{2})z^2+\cdots .$

Una prova d'aquesta identitat es pot obtenir mostrant que compleix l'equació diferencial

$(1+z)\frac{d(1+z{)}^s}{dz}=s(1+z{)}^s.$

La funció digamma:

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n}).$

Els nombres de Stirling de segona espècie són donats per la suma finita

$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})j^n.$

Aquesta fórmula és un cas especial de la k-èsima diferència progressiva del monomi xⁿ avaluat a x = 0:

${\mathrm{\Delta }}^k{x}^n=\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(x+j{)}^n.$

Una identitat relacionada forma la base de la integral de Nørlund-Rice:

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^k}{s-k}=\frac{n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(s-n)}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}=B(n+1,s-n)$

on $\mathrm{\Gamma }(x)$ és la funció gamma, i $B(x,y)$ és la funció beta.

Les funcions trigonomètriques tenen identitats llindars:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{2n})=2^{s/2}\cos \frac{\pi s}{4}$

i

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{2n+1})=2^{s/2}\sin \frac{\pi s}{4}$

La naturalesa de l'umbral d'aquestes identitats és una mica més clara escrivint-les en termes de factorial descendent $(s{)}_n$Els primers termes de la sèrie sinus són

$s-\frac{(s{)}_3}{3!}+\frac{(s{)}_5}{5!}-\frac{(s{)}_7}{7!}+\cdots$

que es pot reconèixer com semblant a la sèrie de Taylor per a sin x, amb (s)_n en lloc de xⁿ.

En la teoria analítica de nombres és interessant la suma

$\sum _{k=0}{B}_k{z}^k,$

on B són els nombres de Bernoulli. Utilitzant la funció generatriu es pot avaluar la seva suma de Borel com

$\sum _{k=0}{B}_k{z}^k=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\frac{tz}{e^{tz}-1}dt=\sum _{k=1}\frac{z}{(kz+1{)}^2}.$

La relació general dona la sèrie de Newton

$\sum _{k=0}\frac{B_k(x)}{z^k}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{1-s}{k})}{s-1}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),$

on $\zeta$ és la funció zeta de Hurwitz i $B_k(x)$ el polinomi de Bernoulli. La sèrie no convergeix, la identitat es manté formalment.

Una altra identitat és

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-a}{k})\sum _{j=0}^k\frac{(-1{)}^{k-j}}{\mathrm{\Gamma }(a+j)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}),$

que convergeix en $x>a$. Això es desprèn de la forma general d'una sèrie de Newton per a nodes equidistants (quan existeix, és a dir, quan sigui convergent).

$f(x)=\sum _{k=0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{x-a}{h}}{k})\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})f(a+jh).$

Referències

• Plantilla:Ref-publicació