Quadrigradient

En geometria diferencial, el quadrigradient (o 4-gradient) $\mathit{\partial }$ és l'anàleg de quadrivectors del gradient $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ del càlcul vectorial.

En la relativitat especial i en la mecànica quàntica, el gradient de quatre s'utilitza per definir les propietats i les relacions entre els diferents quatre vectors físics i tensors.

Notació

Aquest article utilitza la signatura mètrica Plantilla:Math.

SR i GR són abreviatures de relativitat especial i relativitat general, respectivament.

$c$ indica la velocitat de la llum en el buit.

${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}[1,-1,-1,-1]$ és la mètrica espai-temps plana de SR.

Hi ha maneres alternatives d'escriure expressions de quatre vectors en física:

• Es pot utilitzar l'estil de quadrivectors: $𝐀\cdot 𝐁$, que normalment és més compacte i pot utilitzar la notació vectorial, (com el producte interior "punt"), sempre utilitzant majúscules en negreta per representar els quatre vectors, i en negreta en minúscules per representar vectors de 3 espais, p.ex. $\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛}$ La majoria de les regles de vectors de 3 espais tenen anàlegs en matemàtiques de quatre vectors.
• Es pot utilitzar l'estil de càlcul de Ricci: $A^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{B}^{\nu }$, que utilitza la notació d'índex tensor i és útil per a expressions més complicades, especialment aquelles que involucren tensors amb més d'un índex, com ara $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$.

L'índex del tensor llatí oscil·la en Plantilla:Nowrap i representa un vector de 3 espais, p. ex. $A^i=(a^1,a^2,a^3)=\overrightarrow{𝐚}$.

L'índex tensor grec oscil·la en Plantilla:Nowrap i representa un vector de 4, p. ex. $A^{\mu }=(a^0,a^1,a^2,a^3)=𝐀$.

En la física SR, normalment s'utilitza una barreja concisa, p $𝐀=(a^0,\overrightarrow{𝐚})$, on $a^0$ representa el component temporal i $\overrightarrow{𝐚}$ representa els 3 components espacials.

Els tensors en SR solen ser 4D $(m,n)$ -tensors, amb $m$ índexs superiors i $n$ índexs més baixos, amb la 4D indicant 4 dimensions = el nombre de valors que pot prendre cada índex.

La contracció del tensor utilitzada en la mètrica de Minkowski pot anar a qualsevol costat (vegeu la notació d'Einstein): 56, 151–152, 158–161 

$$𝐀\cdot 𝐁=A^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{B}^{\nu }=A_{\nu }{B}^{\nu }=A^{\mu }{B}_{\mu }=\sum _{\mu =0}^3{a}^{\mu }{b}_{\mu }=a^0{b}^0-\sum _{i=1}^3{a}^i{b}^i=a^0{b}^0-\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛}$$

Definició

Els components covariants de 4 gradients escrits de manera compacta en quatre vectors i en notació de càlcul de Ricci són: 16 $$\frac{\partial }{\partial X^{\mu }}=({\partial }_0,{\partial }_1,{\partial }_2,{\partial }_3)=({\partial }_0,{\partial }_i)=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},{\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z)={\partial }_{\mu }={}_{,\mu }$$

La coma a l'última part anterior ${}_{,\mu }$ implica la diferenciació parcial respecte a 4-posicions $X^{\mu }$.

Els components contravariants són: 16 

$$\mathit{\partial }={\partial }^{\alpha }={\eta }^{\alpha \beta }{\partial }_{\beta }=({\partial }^0,{\partial }^1,{\partial }^2,{\partial }^3)=({\partial }^0,{\partial }^i)=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},-{\partial }_x,-{\partial }_y,-{\partial }_z)$$

Símbols alternatius a ${\partial }_{\alpha }$ són $◻$ i D (encara que $◻$ també pot significar ${\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }$ com a operador d'Alembert).

En GR, cal utilitzar el tensor mètric més general $g^{\alpha \beta }$ i la derivada covariant del tensor ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }={}_{;\mu }$ (no s'ha de confondre amb el vector 3-gradient $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ ).

La derivada covariant ${\mathrm{\nabla }}_{\nu }$ incorpora el gradient de 4 ${\partial }_{\nu }$ més efectes de curvatura de l'espai-temps mitjançant els símbols de Christoffel ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }$

El principi d'equivalència forta es pot afirmar com: 184 

"Qualsevol llei física que es pugui expressar en notació tensor en SR té exactament la mateixa forma en un marc localment inercial d'un espai-temps corbat". Les comes de 4 gradients (,) a SR simplement es canvien a punt i coma derivats covariants (;) a GR, amb la connexió entre ambdues utilitzant símbols de Christoffel. Això es coneix en física de la relativitat com la "regla de la coma a punt i coma".

Així, per exemple, si $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ en SR, doncs $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ en GR.

En un (1,0)-tensor o 4-vector això seria: 136–139 $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_{\beta }{V}^{\alpha }& ={\partial }_{\beta }{V}^{\alpha }+V^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\ V^{\alpha }{}_{;\beta }& =V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{array}$$En un (2,0)-tensor això seria: $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{T}^{\mu \nu }& ={\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\sigma \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\mu \sigma }\\ T^{\mu \nu }{}_{;\nu }& =T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\sigma \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\mu \sigma }\end{array}$$