Segona forma fonamental

En geometria diferencial, la segona forma fonamental (o tensor de forma) és una forma quadràtica en el pla tangent d'una superfície suau en l'espai euclidià tridimensional, normalment denotat com $\mathrm{I}\mathrm{I}$ (es llegeix "dos"). Juntament amb la primera forma fonamental, serveix per definir els invariants intrínsecs de la superfície, la seva curvatura principal. Més generalment, aquesta forma fonamental es defineix per a una subvarietat suau immersa en una varietat riemanniana.

Superfície en R³

Definició de la segona forma fonamental

Motivació

La segona forma fonamental d'una superfície paramètrica Plantilla:Math in Plantilla:Math va ser introduïda i estudiada per Gauss. Primer, suposi's que la superfície és la gràfica d'una funció dues vegades contínuament diferenciable, Plantilla:Math, i que el pla Plantilla:Math és tangent a la superfície a l'origen. Llavors Plantilla:Math i les seves derivades parcials respecte de Plantilla:Math i Plantilla:Math són zero en el punt (0,0). Per tant, l'expansió de Taylor de f en el punt (0,0) comença amb els termes quadràtics:

$z=L\frac{x^2}{2}+Mxy+N\frac{y^2}{2}+\text{termes d'ordre major},$

i la segona forma fonamental a l'origen en les coordenades Plantilla:Math és la forma quadràtica

$Ld{x}^2+2Mdxdy+Nd{y}^2.$

Per a un punt suau Plantilla:Math en Plantilla:Math, es pot triar el sistema de coordenades talment que el pla Plantilla:Math sigui tangent a Plantilla:Math en Plantilla:Math, i definir la segona forma fonamental de la mateixa manera.

Notació clàssica

La segona forma fonamental d'una superfície paramètrica és definida de la següent manera. Sigui Plantilla:Math una parametrització regular d'una superfície en Plantilla:Math, on Plantilla:Math és una funció vectorial suau de dues variables. Se solen denotar les derivades parcials de Plantilla:Math respecte Plantilla:Math i Plantilla:Math com Plantilla:Math i Plantilla:Math respectivament. La regularitat de la parametrització implica que Plantilla:Math i Plantilla:Math són linealment independents per tot Plantilla:Math en el domini d'Plantilla:Math i, per tant, generen el pla tangent a Plantilla:Math en cada punt. De forma equivalent, el producte escalar Plantilla:Math és un vector no zero normal a la superfície. Per tant, la parametrització defineix un camp de vectors unitaris Plantilla:Math:

$𝐧=\frac{{𝐫}_u\times {𝐫}_v}{|{𝐫}_u\times {𝐫}_v|}.$

Sovint s'escriu la segona forma fonamental com

$\mathrm{I}\mathrm{I}=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2,$

la seva matriu en la base Plantilla:Math del pla tangent és

$\left[\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right].$

Els coeficients Plantilla:Math en un punt odnat en el pla paramètric Plantilla:Math són donats per les projeccions de les derivades parcials segones de Plantilla:Math en tal punt en la línia normal a Plantilla:Math i es poden calcular amb l'ajuda del producte escalar com:

$L={𝐫}_{uu}\cdot 𝐧,M={𝐫}_{uv}\cdot 𝐧,N={𝐫}_{vv}\cdot 𝐧.$

Per a un funció distància amb signe de la matriu hessiana Plantilla:Math, es poden calcular els coeficients de la segona forma fonamental mitjançant:

$L=-{𝐫}_u\cdot 𝐇\cdot {𝐫}_u,M=-{𝐫}_u\cdot 𝐇\cdot {𝐫}_v,N=-{𝐫}_v\cdot 𝐇\cdot {𝐫}_v.$

Notació en la física

En física, es defineix la segona forma fonamental d'una superfície paramètrica general Plantilla:Math de la següent manera.

Sigui Plantilla:Math una parametrització regular d'una superfície en Plantilla:Math, on Plantilla:Math és una funció vectorial suau de dues variables. És habitual denotar les derivades parcials de Plantilla:Math respecte Plantilla:Math com Plantilla:Math, Plantilla:Math. La regularitat de la parametrització implica que Plantilla:Math i Plantilla:Math són linealment independents per tot Plantilla:Math en el domini de Plantilla:Math i, per tant, generen el pla tangent a Plantilla:Math en cada punt. De forma equivalent, el producte vectorial Plantilla:Math és un vector no zero normal a la superfície. Per tant, la parametrització defineix un camp de vectors unitaris Plantilla:Math:

$𝐧=\frac{{𝐫}_1\times {𝐫}_2}{|{𝐫}_1\times {𝐫}_2|}.$

Sovint s'escriu la segona forma fonamental com

$\mathrm{I}\mathrm{I}=b_{\alpha \beta }d{u}^{\alpha }d{u}^{\beta }.$

Aquesta equació utilitza el conveni de sumació d'Einstein.

Els coeficients Plantilla:Math en un punt donat en el pla paramètric Plantilla:Math venen donats per les projeccions de les derivades parcials segones de Plantilla:Math en aquell punt a la línia normal a Plantilla:Math i es poden calcular en termes del vector normal Plantilla:Math com:

$b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\gamma }{n}_{\gamma }.$

Hipersuperfície en una varietat riemanniana

En l'espai euclidià, la segona forma fonamental ve donada per

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=-⟨d\nu (v),w⟩\nu$

on $\nu$ és l'aplicació de Gauss (vector normal a la superfície), i $d\nu$ és l'aplicació progradient (pushforward) de $\nu$ tractat com una forma diferencial vectorial, i els parèntesis són el tensor mètric de l'espai euclidià.

Més generalment, en una varietat riemanniana, la segona forma fonamental és una manera equivalent de descriure l'operador de forma (denotat Plantilla:Math) en una hipersuperfície,

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=⟨S(v),w⟩n=-⟨{\mathrm{\nabla }}_{v}n,w⟩n=⟨n,{\mathrm{\nabla }}_{v}w⟩n,$

on Plantilla:Math denota la derivada covariant de la varietat ambient i Plantilla:Math un cos de vectors normals en la hipsersuperfície. (Si la connexió afí no té torsió, llavors la segona forma fonamental és simètrica.)

El signe de la segona forma fonamental depèn de la tria de la direcció de Plantilla:Math (que s'anomena la co-orientació de la hipersuperfície - per a superfícies en l'espai euclidià, ve donada de forma equivalent per la tria de l'orientabilitat de la superfície).

Generalització a codimensió arbitrària

Es pot generalitzar la segona forma fonamental a codimensió arbitrària. En tal cas, es tracta d'una forma quadràtica en l'espai tangencial amb valors en el fibrat normal i es pot definir com

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=({\mathrm{\nabla }}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp }},$

on $({\mathrm{\nabla }}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp }}$ denota la projecció ortogonal de la derivada covariant ${\mathrm{\nabla }}_{v}w$ en el fibrat normal.

En l'espai euclidià, es pot descriure el tensor de curvatura d'una subvarietat amb la següent fórmula:

$⟨R(u,v)w,z⟩=⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩.$

Aquesta expressió rep el nom d'equació de Gauss–Codazzi, ja que es pot veure com una generalització del teorema egregi de Gauss.

Per varietat riemannianes generals, s'ha de sumar la curvatura de l'espai ambient; si Plantilla:Math és una varietat immersa en una varietat riemanniana Plantilla:Math llavors es pot expressar el tensor de curvatura Plantilla:Math de Plantilla:Math amb la mètrica induïda utilitzant la segona forma fonamental i Plantilla:Math, el tensor de cuvatura de Plantilla:Math:

$⟨R_N(u,v)w,z⟩=⟨R_M(u,v)w,z⟩+⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩.$

Vegeu també

• Primera forma fonamental
• Curvatura gaussiana
• Tercera forma fonamental
• U-forma canònica

Bibliografia

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book

Enllaços externs

• Steven Verpoort (2008) Geometry of the Second Fundamental Form: Curvature Properties and Variational Aspects from Katholieke Universiteit Leuven.