U-forma canònica

En matemàtiques, la u-forma canònica és una 1-forma especial definida sobre el fibrat cotangent T* Q d'una varietat Q. També s'anomena u-forma tautològica, u-forma de Liouville, u-forma de Poincaré o potencial simplèctic. La derivada exterior d'aquesta forma defineix una forma simplèctica, amb la qual cosa T* Q incorpora l'estructura d'una varietat simplèctica. La u-forma canònica juga un rol important en la relació entre el formalisme de la mecànica hamiltoniana i la mecànica lagrangiana. Un objecte similar és l'espai vectorial canònic sobre el fibrat tangent. En geometria algebraica i geometria complexa, el terme "canònic" pot crear confusió amb la classe canònica, i s'acostuma a emprar el terme "tautològic".

En coordenades canòniques, la u-forma canònica ve donada per

$\theta =\sum _i{p}_{i}d{q}^i$

Equivalentment, unes coordenades qualssevol sobre l'espai de fases que preservi aquesta estructura per a la u-forma canònica, fins a un diferencial total (forma exacta), poden anomenar-se coordenades canòniques; les transformacions entre sistemes de coordenades canòniques diferents s'anomenen transformacions canòniques.

La forma simplèctica canònica, també coneguda com a dos-forma de Poincaré, ve donada per

$\omega =-d\theta =\sum _{i}d{q}^i\wedge d{p}_i$

Definició independent de les coordenades

També es pot definir la u-forma canònica, de manera més abstracta, com una forma sobre l'espai de fases. Sigui $Q$ una varietat, i sigui $M=T^{*}Q$ el fibrat cotangent o espai de fases. Sigui

$\pi :M\to Q$

la projecció canònica sobre el fibrat, i sigui

$T_{\pi }:TM\to TQ$

l'aplicació tangent induïda. Sigui m un punt de M. Com que M és el fibrat cotangent, podem pensar que m és una aplicació de l'espai tangent a $q=\pi (m)$:

$m:T_{q}Q\to ℝ$.

És a dir, tenim que m està a la fibra de q. La u-forma canònica ${\theta }_m$ en el punt m es defineix com

${\theta }_m=m\circ T_{\pi }$.

És una aplicació lineal

${\theta }_m:T_{m}M\to ℝ$

i per tant

$\theta :M\to T^{*}M$.

Propietats

La u-forma canònica és l'única forma horitzontal que "cancel·la" un pullback. És a dir, sigui

$\beta :Q\to T^{*}Q$

una 1-forma qualsevol sobre Q, i sigui ${\beta }^{*}$ el seu pullback. Aleshores

${\beta }^{*}\theta =\beta$,

o, en termes de coordenades:

${\beta }^{*}\theta ={\beta }^{*}(\sum _i{p}_{i}d{q}^i)=\sum _i{\beta }^{*}{p}_{i}d{q}^i=\sum _i{\beta }_{i}d{q}^i=\beta .$

Per tant, com que el pullback i la derivada exterior són commutatius,

${\beta }^{*}\omega =-{\beta }^{*}d\theta =-d({\beta }^{*}\theta )=-d\beta$.

Acció

Si H és un hamiltonià sobre el fibrat cotangent i $X_H$ és el seu flux hamiltonià, llavors la corresponent acció A ve donada per

$S=\theta (X_H)$.

En altres paraules, el flux hamiltonià representa la trajectòria clàssica d'un sistema mecànic que obeeix les equacions de moviment de Hamilton-Jacobi. El flux hamiltonià és la integral del camp vectorial de Hamilton i, per tant, hom escriu, emprant la notació tradicional per a variables acció-angle:

$S(E)=\sum _i\oint p_{i}d{q}^i$

on s'entén que la integral es pren sobre la varietat definida pel fet de deixar constant l'energia: $H=E=\text{constant}$ .

Espais mètrics

Si una varietat Q té una mètrica riemanniana o pseudo-riemanniana g, llavors es poden reformular les definicions en termes de coordenades generalitzades. Més específicament, si prenem la mètrica com una aplicació

$g:TQ\to T^{*}Q$,

llavors definim

$\mathrm{\Theta }=g^{*}\theta$

i

$\mathrm{\Omega }=-d\mathrm{\Theta }=g^{*}\omega$.

En coordenades generalitzades $(q^1,\dots ,q^n,{\dot{q}}^1,\dots ,{\dot{q}}^n)$ sobre TQ, es té

$\mathrm{\Theta }=\sum _{ij}{g}_{ij}{\dot{q}}^{i}d{q}^j$

i

$\mathrm{\Omega }=\sum _{ij}{g}_{ij}d{q}^i\wedge d{\dot{q}}^j+\sum _{ijk}\frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k}{\dot{q}}^{i}d{q}^j\wedge d{q}^k$

La mètrica permet definir una esfera de radi unitat a $T^{*}Q$. La u-forma canònica restringida a aquesta esfera forma una estructura de contacte; aquesta estructura de contacte es pot fer servir per generar el flux geodèsic per a aquesta mètrica.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Classe fonamental