Teorema de Frobenius

En matemàtiques, el teorema de Frobenius dona les condicions necessàries i suficients per trobar un conjunt màxim de solucions independents d'un sistema sobredeterminat d'equacions en derivades parcials lineals homogènies de primer ordre. En termes geomètrics moderns, donada una família de camps vectorials, el teorema dona les condicions d'integrabilitat necessàries i suficients per a l'existència d'una foliació per varietats integrals màximes els paquets tangents de les quals estan abastats pels camps vectorials donats. El teorema generalitza el teorema d'existència per a les equacions diferencials ordinàries, que garanteix que un sol camp vectorial sempre dona lloc a corbes integrals; Frobenius dona condicions de compatibilitat sota les quals les corbes integrals de camps vectorials r s'emboliquen en quadrícules de coordenades en varietats integrals r-dimensionals. El teorema és fonamental en topologia diferencial i càlcul sobre varietats.

En la seva forma més elemental, el teorema aborda el problema de trobar un conjunt màxim de solucions independents d'un sistema regular d'equacions diferencials parcials homogènies lineals de primer ordre. Deixar

$\{f_k^i:{𝐑}^n\to 𝐑:1\le i\le n,1\le k\le r\}$

ser una col·lecció de funcions Plantilla:Math, amb Plantilla:Math, i tal que la matriu Plantilla:Math té rang r. Considereu el següent sistema d'equacions diferencials parcials per a una funció Plantilla:Math Plantilla:Math:

$(1)\{\begin{array}{c}{L}_{1}u\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _i{f}_1^i(x)\frac{\partial u}{\partial x^i}=0\\ L_{2}u\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _i{f}_2^i(x)\frac{\partial u}{\partial x^i}=0\\ \cdots \\ L_{r}u\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _i{f}_r^i(x)\frac{\partial u}{\partial x^i}=0\end{array}$

Es busquen condicions sobre l'existència d'una col·lecció de solucions Plantilla:Math tals que els gradients Plantilla:Math siguin linealment independents.

El teorema de Frobenius afirma que aquest problema admet una solució localment si, i només si, els operadors Plantilla:Math compleixen una certa condició d'integrabilitat coneguda com a involutivitat. Concretament, han de satisfer les relacions de la forma

$L_i{L}_{j}u(x)-L_j{L}_{i}u(x)=\sum _k{c}_{ij}^k(x)L_{k}u(x)$

per a Plantilla:Math, i totes les funcions Plantilla:Math u, i per a alguns coeficients c ^k_ij (x) que poden dependre de x. En altres paraules, els commutadors Plantilla:Math han de situar-se en l'envergadura lineal de Plantilla:Math en cada punt. La condició d'involutivitat és una generalització de la commutativitat de les derivades parcials. De fet, l'estratègia de demostració del teorema de Frobenius és formar combinacions lineals entre els operadors Plantilla:Math de manera que els operadors resultants commutin, i després demostrar que hi ha un sistema de coordenades Plantilla:Math per al qual aquestes són precisament les derivades parcials amb respecte a Plantilla:Math.