Grassmannià

En matemàtiques, el grassmannià Plantilla:Math és un espai que parametritza tots els subespais vectorials de dimensió Plantilla:Mvar d'un espai vectorial Plantilla:Mvar. Per exemple, el grassmannià Plantilla:Math és l'espai de rectes que passen per l'origen de Plantilla:Mvar, la qual cosa és equivalent a l'espai projectiu d'una dimensió menys que la de Plantilla:Mvar.

Quan Plantilla:Mvar és un espai vectorial real o complex, els grassmannians són varietats suaus i compactes.Plantilla:Sfn En general, tenen l'estructura d'una varietat algebraica suau.

El primer tractat sobre un grassmannià no trivial es deu a Julius Plücker, qui estudià el conjunt de rectes en l'espai projectiu tridimensional, i el parametritzà mitjançant el que es coneix avui en dia com a coordenades de Plücker. Els grassmannians reben aquest nom per Hermann Grassmann, qui va introduir el concepte en un àmbit general.

Segons els autors, les notacions poden diferir, amb Plantilla:Math equivalent a Plantilla:Math; alguns autors utilitzen Plantilla:Math o Plantilla:Math per denotar el grassmannià de subespais de dimensió Plantilla:Mvar sobre un cert espai vectorial de dimensió Plantilla:Mvar.

Motivació

Si es dota d'una estructura topològica a una col·lecció de subespais d'un cert espai vectorial, hom pot parlar d'una elecció contínua d'un subespai, o de col·leccions obertes o tancades de subespais; si se'ls dota d'una estructura de varietat diferenciable, hom pot parlar d'eleccions suaus d'un subespai.

Un exemple natural és el dels fibrats tangents de varietats suaus immerses en l'espai euclidià. Suposem que tenim una varietat Plantilla:Mvar de dimensió Plantilla:Mvar immersa en Plantilla:Math. En cada punt Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, es pot considerar l'espai tangent a Plantilla:Mvar com un subespai de l'espai tangent de Plantilla:Math, que és simplement Plantilla:Math. L'aplicació que envia Plantilla:Mvar al seu espai tangent defineix una altra aplicació de Plantilla:Mvar a Plantilla:Math.

Es pot estendre aquesta idea a tots els fibrats vectorials sobre una varietat Plantilla:Mvar, de tal manera que tot fibrat vectorial genera una aplicació contínua que va de Plantilla:Mvar a un cert grassmannià generalitzat (encara que cal demostrar prèviament diversos teoremes d'immersió). Llavors hom pot veure que les propietats d'aquests fibrats vectorials tenen relació amb les propietats de les corresponents aplicacions, vistes com a aplicacions contínues. En particular, es pot veure que els fibrats vectorials que indueixen aplicacions homotòpiques en el grassmannià són isomorfs.

En dimensió menor

Per Plantilla:Math, el grassmannià Plantilla:Math és l'espai de rectes de l'espai tridimensional que passen per l'origen, la qual cosa és equivalent al pla projectiu.

Per Plantilla:Math, el grassmannià és l'espai dels plans que passen per l'origen. En l'espai euclidià tridimensional, un pla que conté l'origen es caracteritza completament per l'única recta que passa per l'origen i que és perpendicular al pla (i viceversa). Per tant, Plantilla:Math, que és, de nou, el pla projectiu.

El grassmannià més simple que no és un pla projectiu és Plantilla:Math, que es pot parametritzar mitjançant les coordenades de Plücker.

El grassmannià com a conjunt

Sigui Plantilla:Mvar un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos Plantilla:Mvar. El grassmannià Plantilla:Math és el conjunt de subespais vectorials de Plantilla:Mvar de dimensió Plantilla:Mvar. Si Plantilla:Mvar té dimensió Plantilla:Mvar, llavors el grassmannià també es denota per Plantilla:Math.

Els subespais vectorials de Plantilla:Mvar són equivalents als subespais vectorials de l'espai projectiu Plantilla:Math, de tal manera que es pot pensar que el grassmannià és el conjunt de rots els subespais vectorials de Plantilla:Math. Amb aquesta interpretació, hom acostuma a simbolitzar el grassmannià com Plantilla:Math o Plantilla:Math.

El grassmannià com a espai homogeni

La manera més ràpida de proporcionar una estructura geomètrica al grassmannià és expressar-lo com a espai homogeni. En primer lloc, cal recordar que el grup lineal general Plantilla:Math actua de forma transitiva sobre els subespais de dimensió Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar. Per tant, si Plantilla:Mvar és l'estabilitzador de qualsevol d'aquests subespais per l'acció, tenim:

Plantilla:Math.

Si el cos base és Plantilla:Math o Plantilla:Math i considerem Plantilla:Math com a grup de Lie, aleshores aquesta construcció fa que el grassmannià esdevingui una varietat suau. També és possible emprar altres grups per fer aquesta construcció. Per veure-ho, fixem un producte escalar a Plantilla:Mvar. Sobre Plantilla:Math, hom substitueix Plantilla:Math pel grup ortogonal Plantilla:Math, i restringint a ls marcs ortonormals, hom arriba a la identitat

Plantilla:Math.

En particular, la dimensió del grassmannià és Plantilla:Math.

Sobre Plantilla:Math, hom substitueix Plantilla:Math pel grup unitari Plantilla:Math. Això demostra que el grassmannià és compacte. Aquestes construccions també converteixen el grassmannià en un espai mètric: donat un subespai Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, sigui Plantilla:Math la projecció de Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar. Llavors

$d(W,W^{\prime })=\Vert P_W-P_{W^{\prime }}\Vert$,

on Plantilla:Math denota l'operador norma, és una mètrica sobre Plantilla:Math. L'elecció d'un producte escalar concret no és rellevant, ja que un altre producte escalar proporcionaria una norma equivalent sobre Plantilla:Mvar i, per tant, una mètrica equivalent.

Si el cos base Plantilla:Mvar és arbitrari i es considera Plantilla:Math com a grup algebraic, llavors aquesta construcció mostra que el grassmannià és una varietat algebraica regular. A partir de l'existència de la immersió de Plücker, n'és una conseqüència que el grassmannià és una varietat algebraica completa. En particular, Plantilla:Mvar és un subgrup parabòlic de Plantilla:Math.

El grassmannià com a esquema

En l'àmbit de la geometria algebraica, el grassmannià es pot construir com a esquema, expressant-lo en forma de functor representable.

Functor representable

Sigui $ℰ$ un feix quasi-coherent sobre un esquema Plantilla:Mvar. Fixem un enter positiu Plantilla:Mvar. Llavors per a cada Plantilla:Mvar-esquema Plantilla:Mvar, el functor grassmannià associa el conjunt de mòduls quocient de

${ℰ}_T:=ℰ{\otimes }_{O_S}{O}_T$

localment lliure de rang Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar. Denotem aquest conjunt per $𝐆𝐫(r,{ℰ}_T)$.

Aquest functor és representable per un Plantilla:Mvar-esquema separat $𝐆𝐫(r,ℰ)$. Aquest últim és un morfisme projectiu si $ℰ$ és finitament generat. Quan Plantilla:Mvar és l'espectre d'un cos Plantilla:Mvar, llavors el feix $ℰ$ ve donat per un espai vectorial Plantilla:Mvar, i així es recupera la varietat grassmanniana habitual de l'espai dual de Plantilla:Mvar, és a dir: Plantilla:Math.

Per construcció, l'esquema grassmannià és compatible amb canvis de base: per a qualsevol Plantilla:Mvar-esquema Plantilla:Math, es té un isomorfisme canònic

$𝐆𝐫(r,ℰ){\times }_S{S}^{\prime }\simeq 𝐆𝐫(r,{ℰ}_{S^{\prime }})$

En particular, per a qualsevol punt Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, el morfisme canònic Plantilla:Math indueix un isomorfisme de la fibra $𝐆𝐫(r,ℰ{)}_s$ al grassmannià habitual $Gr(r,ℰ{\otimes }_{O_S}k(s))$ sobre el cos residual Plantilla:Math.

Família universal

Com que el grassmannià representa un functor, està proveït d'un objecte universal, $𝒢$, que és un objecte de

$𝐆𝐫(r,{ℰ}_{𝐆𝐫(r,ℰ)})$,

i per tant un mòdul quocient $𝒢$ de ${ℰ}_{𝐆𝐫(r,ℰ)}$, localment lliure de rang Plantilla:Mvar sobre $𝐆𝐫(r,ℰ)$. L'homomorfisme quocient indueix una immersió tancada del fibrat projectiu $𝐏(𝒢)$:

$𝐏(𝒢)\hookrightarrow 𝐏\left({ℰ}_{𝐆𝐫(r,ℰ)}\right)=𝐏(ℰ){\times }_S𝐆𝐫(r,ℰ)$.

Per a qualsevol morfisme de Plantilla:Mvar-esquemes:

$T\to 𝐆𝐫(r,ℰ)$,

aquesta immersió tancada indueix una immersió tancada

$𝐏({𝒢}_T)\hookrightarrow 𝐏(ℰ){\times }_{S}T$.

Recíprocament, qualsevol immersió tancada d'aquest tipus prové d'un homomorfisme suprajectiu de Plantilla:Math-mòduls, de ${ℰ}_T$ cap a un mòdul localment lliure de rang Plantilla:Mvar. Per tant, els elements de $𝐆𝐫(r,ℰ)(T)$ són exactament els subfibrats projectius de rang Plantilla:Mvar dins

$𝐏(ℰ){\times }_{S}T$.

Amb aquesta identificació, quan Plantilla:Math és l'espectre d'un cos Plantilla:Mvar i $ℰ$ ve donat per un espai vectorial Plantilla:Mvar, el conjunt de punts racionals $𝐆𝐫(r,ℰ)(k)$ correspon als subespais vectorials projectius de dimensió Plantilla:Math dins Plantilla:Math, i la imatge de $𝐏(𝒢)(k)$ dins

$𝐏(V){\times }_k𝐆𝐫(r,ℰ)$

és el conjunt

$\{(x,v)\in 𝐏(V)(k)\times 𝐆𝐫(r,ℰ)(k)\mid x\in v\}$.

La immersió de Plücker

La immersió de Plücker és una immersió natural d'un grassmannià dins d'un espai projectiu:

$\psi :𝐆𝐫(r,V)\hookrightarrow 𝐏\left({\wedge }^{r}V\right)$.

Suposem que Plantilla:Mvar és un subespai de Plantilla:Mvar de dimensió Plantilla:Mvar. Per definir Plantilla:Math, escollim una base Plantilla:Math} de Plantilla:Mvar, i sigui Plantilla:Math el producte exterior d'aquests elements de la base:

$\psi (W)=w_1\wedge \cdots \wedge w_r$.

L'elecció d'una base diferent de Plantilla:Mvar resultaria en un producte exterior diferent, però els dos productes diferiran només en un factor escalar no nul (el determinant de la matriu de canvi de base). Com que el segon membre pren valors en un espai projectiu, Plantilla:Mvar està ben definida. Per veure que Plantilla:Mvar és una immersió, notem que és possible recuperar Plantilla:Mvar a partir de Plantilla:Math com el conjunt de tots els vectors Plantilla:Mvar tals que Plantilla:Math.

La immersió del grassmannià satisfà uns polinomis quadràtics simples, anomenats relaciosn de Plücker. Aquestes relacions mostren que el grassmannià és una immersió pensada com a subvarietat algebraica de Plantilla:Math, i proporcionen un altre mètode per tal de construir el grassmannià. Per expressar les relacions de Plücker, escollim dos subespais Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar de dimensió Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, amb bases Plantilla:Math} i Plantilla:Math}, respectivament. Llavors, per a qualsevol enter Plantilla:Math, es té la següent relació en l'anell de coordenades homogènies de Plantilla:Math:

$\begin{array}{cc}0=\psi (W)\cdot \psi (Z)-\sum _{i_1<\cdots <i_k}& (v_1\wedge \cdots \wedge v_{i_1-1}\wedge w_1\wedge v_{i_1+1}\wedge \cdots \wedge \\ & \wedge v_{i_k-1}\wedge w_k\wedge v_{i_k+1}\wedge \cdots \wedge v_r)\cdot (v_{i_1}\wedge \cdots \wedge v_{i_k}\wedge w_{k+1}\cdots \wedge w_r)\\ \end{array}$.

Quan Plantilla:Math i Plantilla:Math, cas on el grassmannià més simple no és un espai projectiu, l'expressió anterior es redueix a una sola equació. Si es denoten les coordenades de Plantilla:Math per Plantilla:Math, llavors tenim que Plantilla:Math ve definit per l'equació

Plantilla:Math.

En un cas general, però, es necessiten més equacions per tal de definir la immersió de Plücker d'un grassmannià dins un espai projectiu.

El grassmannià com una varietat algebraica afí real

Sigui Plantilla:Math el grassmannià dels subespais de dimensió Plantilla:Mvar de Plantilla:Math. Sigui Plantilla:Math l'espai de matrius Plantilla:Math reals. Considerem el conjunt de matrius Plantilla:Math definit per Plantilla:Math si i només si se satisfan les següents tres condicions:

• Plantilla:Mvar és un operador de projecció: Plantilla:Math.
• Plantilla:Mvar és simètrica: Plantilla:Math.
• Plantilla:Mvar té traça igual a Plantilla:Mvar: Plantilla:Math.

Llavors Plantilla:Math i Plantilla:Math són homeomorfs, amb una correspondència definida enviant Plantilla:Math a l'espai de columnes de Plantilla:Mvar.

Dualitat

Tot subespai Plantilla:Mvar de dimensió Plantilla:Math dins Plantilla:Mvar determina un espai quocient Plantilla:Math de dimensió Plantilla:Math dins Plantilla:Mvar. Això proporciona la següent successió exacta curta de manera natural:

Plantilla:Math.

Prenent el dual en aquests espais i transformacions lineals, tenim una inclusió de Plantilla:Math dins Plantilla:Math amb quocient Plantilla:Math:

Plantilla:Math.

Emprant l'isomorfisme natural entre un espai vectorial de dimensió finita i el seu bidual, es pot veure que, si es pren l'espai dual del dual, hom recupera la successió exacta curta original. Per tant, hi ha una correspondència biunívoca entre els subespais de Plantilla:Mvar de dimensió Plantilla:Mvar i els subespais de Plantilla:Math de dimensió Plantilla:Math. En termes del grassmannià, existeix un isomorfisme canònic

Plantilla:Math.

Si s'escull un isomorfisme entre Plantilla:Mvar i Plantilla:Math, llavors es pot determinar un isomorfisme (no canònic) entre Plantilla:Math i Plantilla:Math. Un isomorfisme entre Plantilla:Mvar i Plantilla:Math és equivalent a escollir un producte escalar, i respecte a aquest producte escalar, aquest isomorfisme de grassmannians envia un subespai de dimensió Plantilla:Mvar en el seu complement ortogonal de dimensió Plantilla:Math.

Cel·les de Schubert

L'estudi detallat dels grassmannians utilitza una descomposició en subconjunts anomenada cel·les de Schubert, concepte introduït en el marc de la geometria enumerativa. Les cel·les de Schubert per Plantilla:Math es defineixen en termes d'una bandera auxiliar: prenem els subespais Plantilla:Math, amb Plantilla:Math. Llavors considerem el subconjunt corresponent de Plantilla:Math, consistent de Plantilla:Mvar intersecat amb Plantilla:Math de dimensió almenys Plantilla:Mvar, per Plantilla:Math. La manipulació de les cel·les de Schubert s'anomena càlcul de Schubert.

Exemple

Considerem el problema de determinar la característica d'Euler del grassmannià dels subespais de Plantilla:Math de dimensió Plantilla:Mvar. Fixem un espai unidimensional Plantilla:Math i considerem la partició de Plantilla:Math en aquells subespais de Plantilla:Math de dimensió Plantilla:Mvar que contenen Plantilla:Math i aquells que no. Els primers són Plantilla:Math i els últims són un fibrat vectorial de dimensió Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Math. Això resulta en les següents fórmules recurrents:

$\begin{array}{cc}{\chi }_{r,n}& ={\chi }_{r-1,n-1}+(-1{)}^r{\chi }_{r,n-1},\\ {\chi }_{0,n}& ={\chi }_{n,n}=1.\end{array}$

Si hom resol aquesta relació de recurrència, s'obté la fórmula: Plantilla:Math si i només si Plantilla:Mvar és parell i Plantilla:Mvar és senar. Altrament:

${\chi }_{r,n}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\lfloor \frac{r}{2}\rfloor }).$

Anell de cohomologia del grassmannià complex

Tot punt de la varietat grassmanniana complexa Plantilla:Math defineix un Plantilla:Mvar-pla dins l'Plantilla:Mvar-espai. Si es defineix un fibrat d'aquests plans sobre el grassmannià, hom arriba al fibrat vectorial Plantilla:Mvar, que generalitza el fibrat tautològic d'un espai projectiu. Anàlogament, els complements ortogonals de dimensió Plantilla:Math d'aquests plans proporcionen un fibrat vectorial ortogonal Plantilla:Mvar. La cohomologia integral dels grassmannians es genera, com a anell, per les classes de Chern d'Plantilla:Mvar.

Aquests generadors estan subjectes a un conjunt de relacions, que defineixen l'anell. Aquestes relacions són senzilles d'expressar per un nombre gran de generadors, que consisteixen en les classes de Chern d'Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar. Llavors les relacions estableixen que la suma directa dels fibrats Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar és trivial. La functorialitat de les classes de Chern totals permeten escriure aquesta relació com

$c(E)c(F)=1$.

L'anell de cohomologia quàntica fou calculat per Edward Witten. Els generadors són idèntics als de l'anell de cohomologia clàssica, però la relació anterior canvia a

$c_k(E)c_{n-k}(F)=(-1{)}^{n-r}$,

la qual cosa reflecteix l'existència en la corresponent teoria quàntica de camps d'un instantó amb Plantilla:Math zero-modes fermiònics que viola el grau de la corresponent cohomologia corresponent a un estat per Plantilla:Math unitats.

Mesura associada

Quan Plantilla:Mvar és l'espai euclidià Plantilla:Mvar-dimensional, hom pot definir una mesura uniforme sobre Plantilla:Math de la següent manera. Sigui Plantilla:Math la mesura de Haar unitària sobre el grup ortogonal Plantilla:Math i fixem Plantilla:Mvar a Plantilla:Math. Llavors per a un conjunt Plantilla:Math, definim

${\gamma }_{r,n}(A)={\theta }_n\{g\in O(n):gV\in A\}$.

Aquesta mesura és invariant per accions del grup Plantilla:Math, és a dir, Plantilla:Math per a tot Plantilla:Mvar de Plantilla:Math. Com que Plantilla:Math, tenim Plantilla:Math. Addicionalment, Plantilla:Math és una mesura de Radon respecte a la topologia de l'espai mètric, i és uniforme en el sentit que tota bola del mateix radi (respecte aquesta mètrica) té la mateixa mesura.

Grassmannià orientat

Aquesta és la varietat consistent de tots els subespais orientats de Plantilla:Math de dimensió Plantilla:Mvar. És un recobriment doble de Plantilla:Math i es denota per:

$\stackrel{\sim }{𝐆𝐫}(r,n).$

Com a espai homogeni, es pot expressar com:

$SO(n)/(SO(r)\times SO(n-r))$.

Aplicacions

Les varietats grassmannianes tenen aplicació en tasques de visió artificial basades en reconeixement facial i de formes.

Els grassmannians permeten calcular les amplituds de dispersió de partícules subatòmiques, mitjançant una construcció anomenada amplituedre.

Els grassmannians proporcionen un mecanisme per a la generació d'espais de classificació en l'àmbit de la K-teoria, en especial l'espai de classificació per a U(n). En la teoria d'homotopia d'esquemes, el grassmannià juga un rol similar per a la K-teoria algebraica.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació secció 1.2
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre