Distribució de Benktander

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Benktander és una distribució de probabilitat contínua coneguda com dos tipus diferents: la distribució de Benktander de tipus I (o distribució de Benktander-Gibrat) i la distribució de Benktander de tipus II (o distribució de Benktander Weibull).

Aquestes lleis es va aparèixer originalment en un article de 1960 escrit per Benktander i Segerdahl.Plantilla:Sfn S'utilitzen principalment en l'economia.

Igual que la distribució de Pareto és una generalització de la distribució exponencial, les dues lleis de Benktander són generalitzacions d'aquesta distribució exponencial.

Si a $X_I$el segueix una distribució de Benktander de tipus I, s'escriurà $X_I\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{I}(a,b)$; de la mateixa manera, per a una distribució de Benktander de tipus II s'escriurà $X_{II}\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{I}\mathrm{I}(a,b)$

Origen

La distribució de Pareto és una distribució exponencial de paràmetre $\log (x/x_m)$, on $x_m$ és un paràmetre de posició. Apareix així un paràmetre d'escala exponencial: $e(x):=\frac{x}{x_m}$.

Per reflectir millor els valors empírics econòmics, es defineixen altres dos paràmetres exponencials d'escala:

$\{\begin{array}{cc}{e}_I(x)=\frac{x}{a+2b\log (x)}& \text{ per }a>0\text{ i }0\le b\\ e_{II}(x)=\frac{x^{1-b}}{a}& \text{ per }a>0\text{ i }0<b\le 1\end{array}$

Aquests dos nous paràmetres defineixen els dos tipus de distribució de Benktander.

Definicions

Plantilla:Imatge múltiple Els dos canvis d'escala anteriors per definir les dues funcions distribució de les distribucions de Benktander de tipus I i II:.

• Per al tipus I :

$F_I(x)=\{\begin{array}{cc}1-x^{-1-a-b\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}[x]}(1+\frac{2b\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}[x]}{a})& \text{ per }x\ge 1\\ 0& \text{ sinó.}\end{array}$

• Per al tipus II :

$F_{II}(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{\frac{a}{b}(1-x^b)}{x}^{b-1}& \text{ per }x\ge 1\\ 0& \text{ sió.}\end{array}$

Plantilla:Imatge múltiple Per derivació s'aconsegueixen les dues densitats de les distribucions.

• Per al tipus I :

$f_I(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{-2-a-b\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}[x]}(-\frac{2b}{a}+(1+a+2b\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}[x])(1+\frac{2b\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}[x]}{a}))& \text{ per }x\ge 1\\ 0& \text{ sinó.}\end{array}$

• Per al tipus II :

$f_{II}(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{\frac{a(1-x^b)}{b}}{x}^{-2+b}(1-b+a{x}^b)& \text{ per }x\ge 1\\ 0& \text{ sinó.}\end{array}$

Propietats

La mitjana d'ambdós tipus són iguals a:

$𝔼[X]=1+\frac{1}{a}$.

Les variàncies són donades per:

$Var(X_I)=\frac{-\sqrt{b}+a{e}^{\frac{(-1+a{)}^2}{4b}}\sqrt{\pi }\mathrm{erfc}\left(\frac{-1+a}{2\sqrt{b}}\right)}{a^2\sqrt{b}}$

i

$Var(X_{II})=\frac{-1}{a^2}+\frac{2e^{\frac{a}{b}}\mathrm{E}(1-\frac{1}{b},\frac{a}{b})}{ab}$

on $X_I\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{I}(a,b)$, $X_{II}\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{I}\mathrm{I}(a,b)$, erfc és la funció d'error, i t $\mathrm{E}(n,x)$ és l'exponencial integral generalitzada.

Relació amb altres lleis

• $\underset{b\to 0}{\lim }\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{I}(a,b)\sim Pareto(1,1+a)$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre