Funció trigamma

Representació en color de la funció trigamma, Plantilla:Math en una regió rectangular del pla complex.

En matemàtiques, la funció trigamma, denotada Plantilla:Math, és la segona de les funcions poligamma, i està definida per

${\psi }_1(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$.

D'aquesta definició es desprèn que

${\psi }_1(z)=\frac{d}{dz}\psi (z)$

on Plantilla:Math és la funció digamma. També es pot definir com la suma de la sèrie

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

convertint-lo en un cas especial de la funció zeta de Hurwitz.

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).$

Tingueu en compte que les dues últimes fórmules són vàlides quan Plantilla:Math no és un nombre natural.

Representació

Una representació, en forma d'integral doble, com una alternativa a una de les donades anteriorment, es pot derivar de la representació en forma de sèrie:

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{z-1}}{y(1-x)}dxdy$

utilitzant la fórmula per a la suma d'una sèrie geomètrica. Integrant per parts s'obté:

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx$

Una expansió asimptòtica com una sèrie de Laurent és

${\psi }_1(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{z^{k+1}}$

(si, per exemple, es tria Plantilla:Math, obtenim nombres de Bernoulli).

Fórmules de recurrència i reflexió

La funció trigamma satisfà la relació de recurrència

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

i la fórmula de reflexió

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi z}$

que immediatament dona el valor de z = Plantilla:Sfrac: ${\psi }_1(\frac{1}{2})=\frac{{\pi }^2}{2}$.

Valors especials

La funció trigamma té els següents valors especials:

$\begin{array}{cccccc}{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)& ={\pi }^2+8G& {\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)& =\frac{{\pi }^2}{2}& {\psi }_1(1)& =\frac{{\pi }^2}{6}\\ [6px]{\psi }_1\left(\frac{3}{2}\right)& =\frac{{\pi }^2}{2}-4& {\psi }_1(2)& =\frac{{\pi }^2}{6}-1\end{array}$

on Plantilla:Mvar representa la constant de Catalan.

No hi ha arrels a l'eix real de Plantilla:Math, però existeixen infinitat de parells d'arrels Plantilla:Math per a Plantilla:Math. Cada parell d'arrels s'acosta ràpidament a Plantilla:Math i la seva part imaginària augmenta logarítmicament lent amb Plantilla:Mvar. Per exemple, Plantilla:Math i Plantilla:Math són les dues primeres arrels amb Plantilla:Math.

Relació amb la funció de Clausen

La funció digamma amb arguments racionals es pot expressar en termes de funcions trigonomètriques i logaritmes pel teorema de la digamma. Un resultat similar es manté per a la funció trigamma, però les funcions circulars se substitueixen per la funció de Clausen. És a dir,

${\psi }_1\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{{\pi }^2}{2{\sin }^2(\pi p/q)}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left(\frac{2\pi mp}{q}\right){\text{Cl}}_2\left(\frac{2\pi m}{q}\right).$

Càlcul aproximat

Un mètode fàcil per obtenir un valor aproximat de la funció trigamma és prendre la derivada de l'expansió en sèrie de la funció digamma.

${\psi }_1(x)\approx \frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{6x^3}-\frac{1}{30x^5}+\frac{1}{42x^7}-\frac{1}{30x^9}+\frac{5}{66x^{11}}-\frac{691}{2730x^{13}}+\frac{7}{6x^{15}}$

Aparició

La funció trigamma apareix en aquesta fórmula de suma sorprenent:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2-\frac{1}{2}}{{(n^2+\frac{1}{2})}^2}\left({\psi }_1\right(n-\frac{i}{\sqrt{2}})+{\psi }_1(n+\frac{i}{\sqrt{2}}\left)\right)=-1+\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \coth \frac{\pi }{\sqrt{2}}-\frac{3{\pi }^2}{4{\sinh }^2\frac{\pi }{\sqrt{2}}}+\frac{{\pi }^4}{12{\sinh }^4\frac{\pi }{\sqrt{2}}}(5+\cosh \pi \sqrt{2}).$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-web

Vegeu també

• Funció gamma
• Funció digamma (no confondre amb la funció gamma doble).
• Funció poligamma (no confondre amb la funció gamma múltiple).
• Constant de Catalan