Identitats de càlcul vectorial

Plantilla:CàlculLes següents són identitats importants que impliquen derivades i integrals en el càlcul vectorial.

Notació de l'operador

Gradient

Per a una funció $f(x,y,z)$ en variables de coordenades cartesianes tridimensionals, el gradient és el camp vectorial:

$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤$

on i, j, k són els vectors unitaris estàndard per als eixos x, y, z. De manera més general, per a una funció de n variables $\psi (x_1,\dots ,x_n)$, també anomenat camp escalar, el gradient és el camp vectorial: $$\mathrm{\nabla }\psi =\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}\end{array}\right)\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x_1}{𝐞}_1+\dots +\frac{\partial \psi }{\partial x_n}{𝐞}_n$$ on ${𝐞}_i(i=1,2,...,n)$ són vectors unitaris mútuament ortogonals.

Com el seu nom indica, el gradient és proporcional i apunta en la direcció del canvi més ràpid (positiu) de la funció.

Per a un camp vectorial $𝐀=(A_1,\dots ,A_n)$, també anomenat camp tensor d'ordre 1, el gradient o derivada total és la matriu jacobiana n × n : $${𝐉}_{𝐀}=d𝐀=(\mathrm{\nabla }𝐀{)}^{\mathsf{\text{T}}}={\left(\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right)}_{ij}.$$Per a un camp tensor $𝐓$ de qualsevol ordre k, el gradient $\mathrm{grad}(𝐓)=d𝐓=(\mathrm{\nabla }𝐓{)}^{\mathsf{\text{T}}}$ és un camp tensor d'ordre k + 1.

Per a un camp tensor $𝐓$ d'ordre k > 0, el camp tensor $\mathrm{\nabla }𝐓$ d'ordre k + 1 es defineix per la relació recursiva $$(\mathrm{\nabla }𝐓)\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }(𝐓\cdot 𝐂)$$ on $𝐂$ és un vector constant arbitrari.

Divergència

En coordenades cartesianes, la divergència d'un camp vectorial contínuament diferenciable $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$ és la funció amb valors escalars: $$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{F}_x,F_y,F_z\end{array}\right)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$$Com el seu nom indica, la divergència és una mesura (local) del grau en què els vectors del camp divergeixen.

La divergència d'un camp tensor $𝐓$ d'ordre diferent de zero k s'escriu com $\mathrm{div}(𝐓)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓$, una contracció d'un camp tensor d'ordre k − 1. Concretament, la divergència d'un vector és un escalar. La divergència d'un camp tensor d'ordre superior es pot trobar descomponent el camp tensor en una suma de productes externs i utilitzant la identitat, $$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\otimes 𝐓)=𝐓(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐓$$ on $𝐀\cdot \mathrm{\nabla }$ és la derivada direccional en la direcció de $𝐀$ multiplicat per la seva magnitud. Concretament, per al producte exterior de dos vectors, $$\mathrm{\nabla }\cdot \left(𝐀{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}\right)=𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁.$$

Per a un camp tensor $𝐓$ d'ordre k > 1, el camp tensor $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓$ d'ordre k − 1 es defineix per la relació recursiva $$(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓)\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }\cdot (𝐓\cdot 𝐂)$$ on $𝐂$ és un vector constant arbitrari.

Rotacional

En coordenades cartesianes, per $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$ el curl és el camp vectorial:

$$\begin{array}{cc}\mathrm{curl}𝐅& =\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{F}_x,F_y,F_z\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|\\ & =(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})𝐤\end{array}$$

on i, j i k són els vectors unitaris dels eixos x -, y - i z -, respectivament.

Com el seu nom indica, el rínxol és una mesura de quant tendeixen els vectors propers en una direcció circular.

En notació d'Einstein, el camp vectorial $𝐅=\left(\begin{array}{c}{F}_1,F_2,F_3\end{array}\right)$ té un rínxol donat per: $$\mathrm{\nabla }\times 𝐅={\epsilon }^{ijk}{𝐞}_i\frac{\partial F_k}{\partial x_j}$$ on $\epsilon$ = ±1 o 0 és el símbol de paritat Levi-Civita.

Per a un camp tensor $𝐓$ d'ordre k > 1, el camp tensor $\mathrm{\nabla }\times 𝐓$ d'ordre k es defineix per la relació recursiva $$(\mathrm{\nabla }\times 𝐓)\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }\times (𝐓\cdot 𝐂)$$ on $𝐂$ és un vector constant arbitrari.

Un camp tensor d'ordre superior a un es pot descompondre en una suma de productes externs i, a continuació, es pot utilitzar la identitat següent: $$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\otimes 𝐓)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\otimes 𝐓-𝐀\times (\mathrm{\nabla }𝐓).$$ Concretament, per al producte exterior de dos vectors, $$\mathrm{\nabla }\times \left(𝐀{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}\right)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀){𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}-𝐀\times (\mathrm{\nabla }𝐁).$$

Laplacià

En coordenades cartesianes, el laplacià d'una funció $f(x,y,z)$ és $$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$$El laplacià és una mesura de quant canvia una funció en una petita esfera centrada en el punt.

Quan el laplacià és igual a 0, la funció s'anomena funció harmònica. És a dir, $$\mathrm{\Delta }f=0.$$

Per a un camp tensor, $𝐓$, el laplacià s'escriu generalment com: $$\mathrm{\Delta }𝐓={\mathrm{\nabla }}^2𝐓=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })𝐓$$ i és un camp tensor del mateix ordre.

Per a un camp tensor $𝐓$ d'ordre k > 0, el camp tensor ${\mathrm{\nabla }}^2𝐓$ d'ordre k es defineix per la relació recursiva $$\left({\mathrm{\nabla }}^2𝐓\right)\cdot 𝐂={\mathrm{\nabla }}^2(𝐓\cdot 𝐂)$$ on $𝐂$ és un vector constant arbitrari.

Identitats de primera derivada

Per a camps escalars $\psi$, $\varphi$ i camps vectorials $𝐀$, $𝐁$, tenim les identitats derivades següents.

Propietats distributives

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(\psi +\varphi )& =\mathrm{\nabla }\psi +\mathrm{\nabla }\varphi \\ \mathrm{\nabla }(𝐀+𝐁)& =\mathrm{\nabla }𝐀+\mathrm{\nabla }𝐁\\ \mathrm{\nabla }\cdot (𝐀+𝐁)& =\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁\\ \mathrm{\nabla }\times (𝐀+𝐁)& =\mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁\end{array}$

Propietats associatives

$\begin{array}{cc}(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })\psi & =𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )\\ (𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁& =𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }𝐁)\\ (𝐀\times \mathrm{\nabla })\psi & =𝐀\times (\mathrm{\nabla }\psi )\\ (𝐀\times \mathrm{\nabla })𝐁& =𝐀\times (\mathrm{\nabla }𝐁)\end{array}$

Regla de la cadena

Sigui $f(x)$ una funció d'una variable d'escalars a escalars, $𝐫(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$ una corba parametritzada, $\varphi :{ℝ}^n\to ℝ$ una funció de vectors a escalars, i $𝐀:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ un camp vectorial. Tenim els següents casos especials de la regla de la cadena multivariable.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(f\circ \varphi )& =(f^{\prime }\circ \varphi )\mathrm{\nabla }\varphi \\ (𝐫\circ f{)}^{\prime }& =({𝐫}^{\prime }\circ f)f^{\prime }\\ (\varphi \circ 𝐫{)}^{\prime }& =(\mathrm{\nabla }\varphi \circ 𝐫)\cdot {𝐫}^{\prime }\\ (𝐀\circ 𝐫{)}^{\prime }& ={𝐫}^{\prime }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐀\circ 𝐫)\\ \mathrm{\nabla }(\varphi \circ 𝐀)& =(\mathrm{\nabla }𝐀)\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi \circ 𝐀)\\ \mathrm{\nabla }\cdot (𝐫\circ \varphi )& =\mathrm{\nabla }\varphi \cdot ({𝐫}^{\prime }\circ \varphi )\\ \mathrm{\nabla }\times (𝐫\circ \varphi )& =\mathrm{\nabla }\varphi \times ({𝐫}^{\prime }\circ \varphi )\end{array}$

Gràfic DCG: Algunes regles per a les segones derivades.

Identitats de segona derivada

Divergència del rotacional

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial A contínuament doblement diferenciable és sempre zero:

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$$La divergència del gradient és laplacià

El laplacià d'un camp escalar és la divergència del seu gradient: $$\mathrm{\Delta }\psi ={\mathrm{\nabla }}^2\psi =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )$$ El resultat és una magnitud escalar.

La divergència de la divergència no està definida

La divergència d'un camp vectorial A és un escalar i la divergència d'una magnitud escalar no està definida. Per tant, $$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\text{ is undefined.}$$

El rotacional del gradient és zero

El rotacional del gradient de qualsevol camp escalar contínuament dues vegades diferenciable $\phi$ (és a dir, classe de diferenciabilitat $C^2$ ) és sempre el vector zero : $$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\phi )=\mathrm{𝟎}.$$

El rotacional del rotacional

Aquí ∇ ² és el vector laplacià que opera sobre el camp vectorial A.

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$$