Taula de derivades

En el procés de càlcul de derivades o diferenciació, es pot obtenir la derivada de qualsevol funció elemental emprant les regles de derivació i la taula de derivades de les funcions base a partir de les quals es construeixen la resta de funcions elementals.

Les derivades d'aquestes funcions base s'obtenen normalment a partir de la definició de derivada, aplicant les propietats de cada funció i amb les tècniques de càlcul de límits.

Taula de derivades

Funció F: primitiva de f	Funció f: derivada de F
Funcions elementals
$f(x)=k$	$f^{\prime }(x)=0$
$f(x)=x$	$f^{\prime }(x)=1$
$f(x)=x^n$	$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$
$f(x)=\sqrt{x}$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=e^x$	$f^{\prime }(x)=e^x$
$f(x)=\ln (x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=a^x\text{(amb }a>0)$	$f^{\prime }(x)=a^x\ln (a)$
$f(x)={\log }_b(x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln (b)}$
$f(x)=\frac{1}{x^n}=(x^n{)}^{-1}=x^{-n}$	$f^{\prime }(x)=-n{x}^{-n-1}$
Funcions trigonomètriques
$f(x)=\sin (x)$	$f^{\prime }(x)=\cos (x)$
$f(x)=\cos (x)$	$f^{\prime }(x)=-\sin (x)$
$f(x)=\mathrm{tg}(x)$	$f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)$
$f(x)=\sec (x)$	$f^{\prime }(x)=\sec (x)\mathrm{tg}(x)$
$f(x)=\mathrm{cosec}(x)$	$f^{\prime }(x)=-\mathrm{cosec}(x)\mathrm{cotg}(x)$
$f(x)=\mathrm{cotg}(x)$	$f^{\prime }(x)=-{\mathrm{cosec}}^2(x)$
$f(x)=\arcsin (x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x)=\arccos (x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x)=\mathrm{arctg}(x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$
Funcions hiperbòliques
$f(x)=\sinh x$	$f^{\prime }(x)=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$f(x)=\mathrm{arsinh}x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$f(x)=\cosh x$	$f^{\prime }(x)=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f(x)=\mathrm{arcosh}x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$f(x)=\mathrm{tgh}x$	$f^{\prime }(x)={\mathrm{sech}}^{2}x$
$f(x)=\mathrm{artgh}x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^2}$
$f(x)=\mathrm{sech}x$	$f^{\prime }(x)=-\mathrm{tgh}x\mathrm{sech}x$
$f(x)=\mathrm{arsech}x$	$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$f(x)=\mathrm{cosech}x$	$f^{\prime }(x)=-\mathrm{cotgh}x\mathrm{cosech}x$
$f(x)=\mathrm{arcosech}x$	$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$f(x)=\mathrm{cotgh}x$	$f^{\prime }(x)=-{\mathrm{cosech}}^{2}x$
$f(x)=\mathrm{arcotgh}x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^2}$

Funcions especials

Funció Gamma $(\mathrm{\Gamma }(x){)}^{\prime }=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt$ $(\mathrm{\Gamma }(x){)}^{\prime }=\mathrm{\Gamma }(x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})=\mathrm{\Gamma }(x)\psi (x)$

Funció zeta de Riemann $(\zeta (x){)}^{\prime }=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots$ $(\zeta (x){)}^{\prime }=-\sum _{p\text{ primer}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ primer},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}$

Demostracions

Derivada d'una constant

Plantilla:Article principal En el cas de la funció constant la seva gràfica és una recta horitzontal i, per tant, té pendent zero a tot arreu, aquest resultat també s'obté directament en aplicar la definició de derivada a la funció constant: f(x)=c.

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c-c}{h}=0$.

Derivada d'una potència entera

En cas que $f(x)=x^n$, s'obté:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$.

Aplicant la fórmula del binomi de Newton, agrupant els termes que tenen h elevada a una potència superior a 2 i traient h² factor comú d'aquests termes, resulta:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x^n+nh{x}^{n-1}+h^{2}R)-x^n}{h}$

A partir d'aquí, operant s'obté:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }n{x}^{n-1}+hR=n{x}^{n-1}+\underset{h\to 0}{\lim }hR=n{x}^{n-1}+0$.

Derivada d'una potència real

Pel càlcul de la derivada d'una potència real primer es transforma l'expressió:

$x^r=e^{r\ln \left(x\right)}$

Llavors s'aplica la regla de la cadena:

$D(f\circ g)=[\left(Df\right)\circ g]Dg$

Amb

$f=e^{x}g=r\ln \left(x\right)$

D'aquí, operant, i tenint en compe la derivada de la funció exponencial (vegeu més endavant) resulta:

$\begin{array}{cc}D{x}^r& =D{e}^{r\ln \left(x\right)}\\ & =[\left(e^x\right)\circ r\ln \left(x\right)]\frac{r}{x}\\ & =\frac{r}{x}{e}^{r\ln \left(x\right)}\\ & =\frac{r}{x}{x}^r\\ & =r{x}^{r-1}\end{array}$

Aquesta expressió, és formalment idèntica al cas de la potència entera.

Pel cas particular de $r=1/2$ resulta:

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\sqrt{x}\\ & =x^{1/2}\end{array}$

Per tant: $\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =\frac{1}{2}{x}^{(\frac{1}{2}-1)}\\ & =\frac{1}{2}{x}^{(-\frac{1}{2})}\\ & =\frac{1}{2x^{1/2}}\\ & =\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$

Derivada de la funció logaritme

Sigui $x>0$, aleshores es defineix la funció logaritmica com $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)$, aplicant la definició de derivada i ficant els termes dins de la funció logaritme s'obté:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{1}{h}}\end{array}$

Aquesta expressió es pot transformar de la següent manera:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{\left[{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\right]}^{\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a\underset{h\to 0}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\end{array}$

Però quant $h$ tendeix a zero $x/h$ tendeix a infinit (si $x>0$, cosa que hem imposat al principi), per tant el límit es pot calcular tenint en compte la definició del nombre e:

$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{y})}^y=e$

Per tant, la derivada de la funció logaritme és:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}{\log }_a\left(e\right)$

O cosa que és el mateix:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\ln \left(a\right)}\frac{1}{x}$

tenint en compte que:

${\log }_a\left(e\right)=\frac{1}{\ln \left(a\right)}$

Com es pot comprovar plantejant:

$\begin{array}{cc}{a}^{{\log }_a\left(e\right)\ln \left(a\right)}& ={\left(a^{{\log }_a\left(e\right)}\right)}^{\ln \left(a\right)}\\ & =e^{\ln \left(a\right)}\\ & =a\\ \Rightarrow {\log }_a\left(e\right)\ln \left(a\right)& =1\\ \Rightarrow {\log }_a\left(e\right)& =\frac{1}{\ln \left(a\right)}\end{array}$

En el cas particular del logaritme natural:

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}\ln \left(e\right)=\frac{1}{x}$

Si en comptes de la funció $f(x)={\log }_a(x)$ definim la funció $F(x)={\log }_a(f(x))$ (de la mateixa manera que abans imposàvem que $x>0$, ara s'ha de complir que $f(x)>0$)

Podem aplicar la regla de la cadena per calcular $F^{\prime }(x)$:

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\frac{dF(x)}{df(x)}\cdot \frac{df(x)}{dx}=\frac{1}{f(x)}\frac{1}{\ln a}\cdot f^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln a}$

I, en concret si $F(x)=\ln (f(x))$

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\frac{dF(x)}{df(x)}\cdot \frac{df(x)}{dx}=\frac{1}{f(x)}\frac{1}{\ln e}\cdot f^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

Derivada de la funció exponencial

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, s'aplica la regla de la derivada de la funció inversa:

${\left[f^{-1}\right]}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}$

Amb:

$f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}{\log }_a\left(e\right)f^{-1}\left(x\right)=a^x$

Substituint i operant resulta:

$\begin{array}{cc}{\left[a^x\right]}^{\prime }& =\frac{1}{\left[\frac{1}{x}{\log }_a\left(e\right)\right]\circ \left[a^x\right]}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{a^x}{\log }_a\left(e\right)}\\ & =\frac{a^x}{{\log }_a\left(e\right)}\end{array}$

O cosa que és el mateix:

${\left[a^x\right]}^{\prime }=\ln \left(a\right)a^x$

Pel cas particular de què $a=e$ resulta:

${\left[e^x\right]}^{\prime }=\frac{e^x}{\ln \left(e\right)}=\frac{e^x}{1}=e^x$

De nou, aplicant la regla de la cadena podem trobar la derivada de la funció $F(x)=a^{f(x)}$

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\frac{dF(x)}{df(x)}\cdot \frac{df(x)}{dx}=a^{f(x)}\ln a\cdot f^{\prime }(x)$

I, en concret si $F(x)=e^{f(x)}$

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\frac{dF(x)}{df(x)}\cdot \frac{df(x)}{dx}=e^{f(x)}\ln e\cdot f^{\prime }(x)=e^{f(x)}{f}^{\prime }(x)$

Derivada de la funció $f(x{)}^{g(x)}$

Si $f$ i $g$ són funcions derivables i $f(x)>0$ podem resumir totes les derivades anteriors en una sola derivada utilitzant només les derivades de les funcions $e^{f(x)}$ i $\ln f(x)$, la derivada de la funció $F(x)=f(x{)}^{g(x)}$

Tenint en compte que podem escriure $f(x{)}^{g(x)}$ com $e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$, aleshores

$F^{\prime }(x)=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}\frac{d}{dx}(g(x)\cdot \ln f(x))=f(x{)}^{g(x)}[g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\frac{d}{dx}(\ln f(x))]=f(x{)}^{g(x)}[g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}]$

Veiem que efectivament aquesta derivada ens condueix a:

$\frac{d}{dx}(x^r)=x^r[r^{\prime }\ln x+r\frac{x^{\prime }}{x}]=x^r[0+r\frac{1}{x}]=r\frac{x^r}{x}=r{x}^{r-1}$

$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x[x^{\prime }\ln a+x\frac{a^{\prime }}{a}]=a^x[1\ln a+0]=a^x\ln a$

Cal notar que la primera expressió només està definida quan $x>0$ i la segona només ho està quan $a>0$. Tot i així, pels valors de $r$ pels quals podem definir $(-1{)}^r$ (valors enters o racionals amb denominador senar), si $x<0$ podem escriure $x^r=(-1{)}^r(-x{)}^r$

$\frac{d}{dx}(x^r)=(-1{)}^r\frac{d}{dx}(-x{)}^r=(-1{)}^r(-x{)}^r[r^{\prime }\ln (-x)+r\frac{(-x{)}^{\prime }}{-x}]=x^r[0+r\frac{1}{x}]=r\frac{x^r}{x}=r{x}^{r-1}$

Generalitzant així la equació per a tot valor de $x$.

Les altres expressions es poden trobar de manera similar o aplicant la derivada de la funció inversa.

Derivada de les funcions trigonomètriques

Plantilla:Article principal Les derivades de les funcions sinus i cosinus es troben a partir de la definició de derivada, aplicant les identitats trigonomètriques de la suma de raons trigonomètriques

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\alpha \right)-\sin \left(\beta \right)\sin (\alpha )$

i les identitats trigonomètriques

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1-\cos \theta }{\theta }=0$

Un cop s'han trobat les derivades del sinus i del cosinus la derivada de la tangent es calcula aplicant la regla del quocient a la identitat trigonomètrica:

$\mathrm{tg}(x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

A partir d'aqui es troben les derivades de les funcions cotangent, secant i cosecant aplicant la Regla de la raó inversa d'una funció a les identitats:

$\mathrm{cotg}(x)=\frac{1}{\mathrm{tg}(x)}\sec (x)=\frac{1}{\cos \left(x\right)}i\mathrm{cosec}(x)=\frac{1}{\sin (x)}$

Els detalls de tot el procés es troben a l'article Derivació de les funcions trigonomètriques

Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques

Plantilla:Article principal La derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques es calculen aplicant la regla de la funció inversa a cada una de les funcions trigonomètriques i simplificant el resultat.

Derivada de les funcions hiperbòliques

Les derivades de les funcions hiperbòliques s'obtenen a partir de les seves definicions emprant la derivada de la funció $F(x)=e^{f(x)}$

$(\sinh x{)}^{\prime }$

$\frac{d}{dx}\sinh x=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$

$(\cosh x{)}^{\prime }$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x$

$(\tanh x{)}^{\prime }$

$\frac{d}{dx}\tanh x=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sinh x}{\cosh x}\right)=\frac{(\sinh x{)}^{\prime }(\cosh x)-(\sinh x)(\cosh x{)}^{\prime }}{{\cosh }^{2}x}=\frac{{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x}{{\cosh }^{2}x}=1-\frac{{\sinh }^{2}x}{{\cosh }^{2}x}=1-{\tanh }^{2}x$

O, utilitzant la relació ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

$\frac{d}{dx}\tanh x=\frac{{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x}{{\cosh }^{2}x}=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}={\text{sech}}^{2}x$

Per les funcions hiperbòliques inverses fem servir la regla de la funció inversa.

$(\text{arcsinh}x{)}^{\prime }$

Denotem $y=\text{arcsinh}(x)⟹x=\sinh y$, la regla de la funció inversa ens diu que

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$

$\frac{d}{dx}\text{arcsinh}(x)=\frac{1}{d/dy(\sinh y)}=\frac{1}{\cosh y}=\frac{1}{\cosh (\text{arcsinh}(x))}$

Com que $\cosh x=\sqrt{1+{\sinh }^{2}x}$

$\frac{d}{dx}\text{arcsinh}(x)=\frac{1}{\cosh (\text{arcsinh}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+{\sinh }^2((\text{arcsinh}(x)))}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$(\text{arccosh}x{)}^{\prime }$

Sigui $y=\text{arccosh}(x)⟹x=\cosh y$, la regla de la funció inversa ens diu que

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$

$\frac{d}{dx}\text{arccosh}(x)=\frac{1}{d/dy(\cosh y)}=\frac{1}{\sinh y}=\frac{1}{\sinh (\text{arccosh}(x))}$

Com que $\sinh x=\sqrt{{\cosh }^2(x)-1}$

$\frac{d}{dx}\text{arccosh}(x)=\frac{1}{\sinh (\text{arccosh}(x))}=\frac{1}{\sqrt{{\cosh }^2((\text{arccosh}(x)))-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$(\text{arctanh}x{)}^{\prime }$

Sigui $y=\text{arctanh}(x)⟹x=\tanh y$, la regla de la funció inversa ens diu que

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$

$\frac{d}{dx}\text{arctanh}(x)=\frac{1}{d/dy(\tanh y)}=\frac{1}{1-{\tanh }^{2}y}=\frac{1}{1-{\tanh }^2(\text{arctanh}(x))}=\frac{1}{1-x^2}$

Vegeu també

• Regla de la cadena
• Derivació de les funcions trigonomètriques
• Derivada de la funció inversa

Referències

http://www.edicionsupc.cat/virtuals/caplln/ME01007X.htm#Plantilla:Enllaç no actiu

Enllaços externs

• Taula de derivades