Valors particulars de la funció gamma

La funció gamma és una funció especial important en matemàtiques. Els seus valors particulars poden expressar-se en forma tancada per a arguments enters i mig enters, però no es coneixen expressions simples per als valors en punts racionals en general. Altres arguments fraccionaris es poden aproximar a través de productes infinits eficients, sèries infinites i relacions de recurrència.

Enters i mitjos enters

Per a arguments enters positius, la funció gamma coincideix amb el factorial. Això és,

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!,$

i per tant

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(1)& =1,\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =1,\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =2,\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =6,\\ \mathrm{\Gamma }(5)& =24,\end{array}$

etcètera.

Per a nombres enters no positius, la funció gamma no està definida.

Per als mig enters positius, els valors de la funció es donen exactament per

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)=\sqrt{\pi }\frac{(n-2)!!}{2^{\frac{n-1}{2}}}$

o equivalent, per a valors enters no negatius de Plantilla:Mvar:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)& =\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }\\ \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)& =\frac{(-2{)}^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi }=\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }\end{array}$

on Plantilla:Math denota el doble factorial. En particular,

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)$	$=\sqrt{\pi }$	$\approx 1.7724538509055160273$	Plantilla:OEIS
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)$	$=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$	$\approx 0.8862269254527580137$	Plantilla:OEIS
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)$	$=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }$	$\approx 1.3293403881791370205$	Plantilla:OEIS
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{2}\right)$	$=\frac{15}{8}\sqrt{\pi }$	$\approx 3.3233509704478425512$	Plantilla:OEIS

i mitjançant la fórmula de reflexió,

$\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})$	$=-2\sqrt{\pi }$	$\approx -3.5449077018110320546$	Plantilla:OEIS
$\mathrm{\Gamma }(-\frac{3}{2})$	$=\frac{4}{3}\sqrt{\pi }$	$\approx 2.3632718012073547031$	Plantilla:OEIS
$\mathrm{\Gamma }(-\frac{5}{2})$	$=-\frac{8}{15}\sqrt{\pi }$	$\approx -0.9453087204829418812$	Plantilla:OEIS

Argument racional general

En analogia amb la fórmula de mig enter,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{3})& =\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\frac{(3n-2)!!!}{3^n}\\ \mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{4})& =\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\frac{(4n-3)!!!!}{4^n}\\ \mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{p})& =\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{p}\right)\frac{(pn-(p-1)){!}^{(p)}}{p^n}\end{array}$

on Plantilla:Math denota el Plantilla:Mvar-èsim multifactorial de Plantilla:Mvar. Numèricament,

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\approx 2.6789385347077476337$ Plantilla:OEIS

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\approx 3.6256099082219083119$ Plantilla:OEIS

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{5}\right)\approx 4.5908437119988030532$ Plantilla:OEIS

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{6}\right)\approx 5.5663160017802352043$ Plantilla:OEIS

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{7}\right)\approx 6.5480629402478244377$ Plantilla:OEIS

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{8}\right)\approx 7.5339415987976119047$ Plantilla:OEIS.

Es desconeix si aquestes constants són transcendents en general, però Plantilla:Math i Plantilla:Math van ser transcendents per G. V. Chudnovsky.Des de fa temps, se sap que Plantilla:Math és transcendent, i Yuri Nesterenko va demostrar el 1996 que Plantilla:Math, Plantilla:Math, i Plantilla:Math són algebraicament independents.

El nombre Plantilla:Math està relacionat amb la constant de la lemniscata Plantilla:Mvar per

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{\sqrt{2\pi }S},$

i ha estat conjecturada per Gramain com

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt[4]{4{\pi }^3{e}^{2\gamma -\mathrm{\delta }+1}}$

on Plantilla:Mvar és la constant de Masser-Gramain Plantilla:OEIS, encara que el treball numèric de Melquiond et al. indica que aquesta conjectura és falsa.

Borwein i Zucker van descobrir que Plantilla:Math es pot expressar algebraicament en termes de Plantilla:Mvar, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, i Plantilla:Math on Plantilla:Math és una integral integral el·líptica de primera espècie. Això permet aproximar de forma eficient la funció gamma d'arguments racionals amb una alta precisió utilitzant iteracions de convergència quadràtica de la mitjana aritmètico-geomètrica. No es coneixen cap relació similar en Plantilla:Math o en altres denominadors.

En particular, on AGM() és la mitjana aritmètica-geomètrica, tenim

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2^{\frac{7}{9}}\cdot {\pi }^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{1}{12}}\cdot AGM{(2,\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}}}$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{AGM(\sqrt{2},1)}}$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{2^{\frac{14}{9}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{6}}}{AGM{(1+\sqrt{3},\sqrt{8})}^{\frac{2}{3}}}.$

Altres fórmules inclouen els productes infinits

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=(2\pi {)}^{\frac{3}{4}}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\tanh \left(\frac{\pi k}{2}\right)$

i

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=A^3{e}^{-\frac{G}{\pi }}\sqrt{\pi }{2}^{\frac{1}{6}}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-\frac{1}{2k})}^{k(-1{)}^k}$

on Plantilla:Mvar és la constant de Glaisher-Kinkelin i Plantilla:Mvar és la constant del Catalan.

C. H. Brown va derivar ràpidament convergent la sèrie infinita convergent per a valors particulars de la funció gamma:

$\begin{array}{cc}\frac{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\right)}^6}{12{\pi }^4}& =\frac{1}{\sqrt{10}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(-1{)}^k}{(k!{)}^3(3k)!3^{k}160^{3k}}\\ \frac{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\right)}^4}{128{\pi }^3}& =\frac{1}{\sqrt{u}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(2w{)}^k}{(k!{)}^3(3k)!6486^{3k}}\end{array}$

on,

$\begin{array}{cc}u& =273+180\sqrt{2}\\ v& =1+\sqrt{2}\\ w& =-761354780+538359129\sqrt{2}=\frac{6486^3}{2{\left(u{v}^2\sqrt{2}\right)}^3}\end{array}$

de manera equivalent,

$\frac{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\right)}^4}{128{\pi }^3}=\frac{1}{\sqrt{u}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!}{(k!{)}^3(3k)!}\frac{1}{(u{v}^2\sqrt{2}{)}^{3k}}.$

Les següents dues representacions per a Plantilla:Math van ser lliurades per I. Mező

$\sqrt{\frac{\pi \sqrt{e^{\pi }}}{2}}\frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}=i\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi (k-2k^2)}{\vartheta }_1(\frac{i\pi }{2}(2k-1),e^{-\pi }),$

i

$\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\vartheta }_4(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^2}},$

on Plantilla:Math i Plantilla:Math són dues de les funcions theta de Jacobi.

Productes

Algunes identitats de productes inclouen:

$\prod _{r=1}^2\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{3}\right)=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\approx 3.6275987284684357012$ Plantilla:OEIS

$\prod _{r=1}^3\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{4}\right)=\sqrt{2{\pi }^3}\approx 7.8748049728612098721$ Plantilla:OEIS

$\prod _{r=1}^4\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{5}\right)=\frac{4{\pi }^2}{\sqrt{5}}\approx 17.6552850814935242483$

$\prod _{r=1}^5\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{6}\right)=4\sqrt{\frac{{\pi }^5}{3}}\approx 40.3993191220037900785$

$\prod _{r=1}^6\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{7}\right)=\frac{8{\pi }^3}{\sqrt{7}}\approx 93.7541682035825037970$

$\prod _{r=1}^7\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{8}\right)=4\sqrt{{\pi }^7}\approx 219.8287780169572636207$

En general:

$\prod _{r=1}^n\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{n+1}\right)=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{n+1}}$

A partir d'aquests productes es poden deduir altres valors, per exemple, de les equacions anteriors per a $\prod _{r=1}^3\mathrm{\Gamma }\left(\frac{r}{4}\right)$, $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)$ i $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{4}\right)$, es pot deduir:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{\frac{1}{4}}{AGM(\sqrt{2},1)}^{\frac{1}{2}}$

Altres relacions racionals inclouen

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{5}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{4}{15}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{15}\right)}=\frac{\sqrt{2}\sqrt[20]{3}}{\sqrt[6]{5}\sqrt[4]{5-\frac{7}{\sqrt{5}}+\sqrt{6-\frac{6}{\sqrt{5}}}}}$

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{20}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{9}{20}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{20}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{20}\right)}=\frac{\sqrt[4]{5}(1+\sqrt{5})}{2}$

$\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{10}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{10}\right)}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2^{\frac{7}{10}}\sqrt[4]{5}}$

i moltes més relacions per a Plantilla:Math on el denominador d divideix 24 o 60.

Arguments imaginaris i complexos

La funció gamma a la unitat imaginària $i=\sqrt{-1}$ dona Plantilla:OEIS, Plantilla:OEIS:

$\mathrm{\Gamma }(i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.$

També es pot donar en funció de la funció G de Barnes:

$\mathrm{\Gamma }(i)=\frac{G(1+i)}{G(i)}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.$

Curiosament, $\mathrm{\Gamma }(i)$apareix a l'avaluació integral següent:

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\{\cot (x)\}dx=1-\frac{\pi }{2}+\frac{i}{2}\log \left(\frac{\pi }{\sinh (\pi )\mathrm{\Gamma }(i{)}^2}\right).$

on $\{\cdot \}$ denota la part fraccionària.

La funció gamma amb altres arguments complexos dona:

$\mathrm{\Gamma }(1+i)=i\mathrm{\Gamma }(i)\approx 0.498-0.155i$

$\mathrm{\Gamma }(1-i)=-i\mathrm{\Gamma }(-i)\approx 0.498+0.155i$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)\approx 0.8181639995-0.7633138287i$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)\approx 0.8181639995+0.7633138287i$

$\mathrm{\Gamma }(5+3i)\approx 0.0160418827-9.4332932898i$

$\mathrm{\Gamma }(5-3i)\approx 0.0160418827+9.4332932897i.$

Altres constants

La funció gamma té un mínim local en l'eix real positiu

$x_{\min }=1.461632144968362341262\dots$ Plantilla:OEIS

amb el valor

$\mathrm{\Gamma }\left(x_{\min }\right)=0.885603194410888\dots$ Plantilla:OEIS.

La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu també proporciona la constant de Fransén-Robinson.

En l'eix real negatiu, els primers màxims i mínims locals (zeros de la funció digamma) són:

Extrem local aproximat de Plantilla:Math

Plantilla:Mvar	Plantilla:Math	OEIS
−0, 504 083 008 264 455 409 258 269 304	−3, 544 643 611 155 005 089 121 963 993	Plantilla:OEIS
−1, 573 498 473 162 390 458 778 286 043	2, 302 407 258 339 680 135 823 582 039	Plantilla:OEIS
−2, 610 720 868 444 144 650 001 537 715	−0, 888 136 358 401 241 920 095 528 029	Plantilla:OEIS
−3, 635 293 366 436 901 097 839 181 566	0, 245 127 539 834 366 250 438 230 088	Plantilla:OEIS
−4, 653 237 761 743 142 441 714 598 151	−0, 052 779 639 587 319 400 760 483 570	Plantilla:OEIS
−5, 667 162 441 556 885 535 849 474 174	0, 009 324 594 482 614 850 521 711 923	Plantilla:OEIS
−6, 678 418 213 073 426 742 829 855 888	−0, 001 397 396 608 949 767 301 307 488	Plantilla:OEIS
−7, 687 788 325 031 626 037 440 098 891	0, 000 181 878 444 909 404 188 101 417	Plantilla:OEIS
−8, 695 764 163 816 401 266 488 776 160	−0, 000 020 925 290 446 526 668 753 697	Plantilla:OEIS
−9, 702 672 540 001 863 736 084 426 764	0, 000 002 157 416 104 522 850 540 503	Plantilla:OEIS

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• X. Gourdon & P. Sebah. Introduction to the Gamma Function
• S. Finch. Euler Gamma Function ConstantsPlantilla:Enllaç no actiu
• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació

Vegeu també

• Fórmula de Chowla-Selberg