Notació multi-índex

La notació multi-índex és una notació matemàtica que simplifica les fórmules utilitzades en el càlcul multivariable, les equacions diferencials parcials i la teoria de les distribucions, generalitzant el concepte d’un índex enter en una N-pla ordenada d’índexs.

Definició i propietats bàsiques

Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$

de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals, denotat ${\mathbb{N}}_0^n$).

Per a índexs múltiples $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ i $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ es defineix:

Suma i diferència per components

$\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

Ordre parcial

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

Suma de components (valor absolut)

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

Factorial

$\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$

Coeficient binomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})=\frac{\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}$

Coeficient multinomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\alpha })=\frac{k!}{{\alpha }_1!{\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!}=\frac{k!}{\alpha !}$

on $k:=|\alpha |\in {\mathbb{N}}_0$ .

Potència

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$ .

Derivada parcial d’ ordre superior

${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\underset{2}{\overset{{\alpha }_2}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}$

on $\underset{i}{\overset{{\alpha }_i}{\partial }}:={\partial }^{{\alpha }_i}/\partial x_i^{{\alpha }_i}$ (vegeu també 4 gradients). De vegades la notació $D^{\alpha }={\partial }^{\alpha }$ també s’utilitza.

Algunes aplicacions

La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent, $x,y,h\in {ℂ}^n$ (o ${ℝ}^n$), $\alpha ,\nu \in {\mathbb{N}}_0^n$, i $f,g,a_{\alpha }:{ℂ}^n\to ℂ$ (o ${ℝ}^n\to ℝ$).

Teorema multinomial

$(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^k=\sum _{|\alpha |=k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\alpha })x^{\alpha }$

Teorema multi-binomial

$(x+y{)}^{\alpha }=\sum _{\nu \le \alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu })x^{\nu }{y}^{\alpha -\nu }.$

Tingueu en compte que, atès que Plantilla:Math és un vector i Plantilla:Math és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per Plantilla:Math .

Fórmula de Leibniz

Per a funcions fluixes f i g

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \le \alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu }){\partial }^{\nu }f{\partial }^{\alpha -\nu }g.$

Sèrie de Taylor

Per a una funció analítica f en n variables es té

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}_0^n}^{}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }.$

De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\le n}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }+R_n(x,h),$

on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté

$R_n(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}\frac{h^{\alpha }}{\alpha !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^n{\partial }^{\alpha }f(x+th)dt.$

Operador diferencial parcial

Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\le N}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }.$

Integració per parts

Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ un té

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u({\partial }^{\alpha }v)dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}({\partial }^{\alpha }u)vdx.$

Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles.

Un teorema d’exemple

Si $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ són multiíndexs i $x=(x_1,\dots ,x_n)$, doncs

${\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }=\{\begin{array}{cc}\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{x}^{\beta -\alpha }& \text{if}\alpha \le \beta ,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

Demostració

La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}{x}^{\beta }=\{\begin{array}{cc}\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{x}^{\beta -\alpha }& \text{if}\alpha \le \beta ,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}(1)$

Suposem $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$, $\beta =({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$, i $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Llavors tenim això

$\begin{array}{cc}{\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }& =\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}{x}_1^{{\beta }_1}\cdots x_n^{{\beta }_n}\\ & =\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}}{x}_1^{{\beta }_1}\cdots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n^{{\alpha }_n}}{x}_n^{{\beta }_n}.\end{array}$

Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció $x_i^{{\beta }_i}$ només depèn de $x_i$. A l’anterior, cada diferenciació parcial $\partial /\partial x_i$ per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent $d/d{x}_i$. Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn ${\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }$ s'esvaeix si α _i > β _i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs

$\frac{d^{{\alpha }_i}}{d{x}_i^{{\alpha }_i}}{x}_i^{{\beta }_i}=\frac{{\beta }_i!}{({\beta }_i-{\alpha }_i)!}{x}_i^{{\beta }_i-{\alpha }_i}$

per cada $i$ i. el teorema segueix. $◻$

Vegeu també

• Notació d'Einstein
• Trinomi
• Expansió trinomial

Referències

• Saint Raymond, Xavier (1991). Introducció elemental a la teoria dels operadors pseudodiferencials. Cap 1.1. CRC Press.Plantilla:ISBNISBN 0-8493-7158-9

• Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.